II. Вращения и отражения
7. Определение.
Вращениями и отражениями (подразумевается: около начала) называются линейные преобразования координат, оставляющие инвариантной фундаментальную форму.
Если такое преобразование переводит векторы 
, то оно преобразует вектор 
в вектор 
Оно не меняет, конечно, длину вектора и скалярное произведение двух любых векторов. В вещественном псевдоэвклидовом пространстве оно преобразует пространственный вектор в пространственный, временной — во временной.
Определенная выше операция преобразует каждый ортогональный репер в ортогональный. Обратно, рассмотрим два
ортогональных репера 
пусть 
Отнесем пространство к первому из этих реперов и обозначим через 
соответствующие, координаты. Линейное преобразование
переводит вектор 
в вектор с составляющими 
то есть в вектор 
это преобразование не меняет, с другой стороны, фундаментальную форму Ф, так как скалярный квадрат 
вектора 
равен 
8. Докажем следующую теорему:
Теорема. Определитель линейного преобразования, определяющего вращение или отражение, равен 1 или —1.
Достаточно рассмотреть комплексную область, так как каждое вращение в вещественном эвклидовом пространстве является частным случаем вращений в комплексном пространстве.
Предположим сначала, что репер ортогональный; 
пусть
— уравнения преобразования. Из инвариантности фундаментальной формы имеем:
Применяя правило умножения определителей к квадрату определителя преобразования, мы получим детерминант, у которого диагональные элементы равны единице, а все остальные нулю.
Если взять репер общего вида, что соответствует преобразованию координат
и если линейной подстановке (8) соответствует в координатах 
подстановка
то
Полагая
и обозначая через 
, а определители, составленные соответственно из 
получаем
откуда 
Мы будем называть вращением преобразование, определитель которого равен 
отражением — преобразование с определителем, равным —1.
