ГЛАВА V. СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ...

Спиноры в эвклидовом пространстве нечетного числа измерений мы введем при помощи рассмотрения -мерных полностью изотропных плоскостей, проходящих через начало координат О. Систему декартовых координат х мы выберем таким образом, чтобы фундаментальная форма имела следующий вид:

Координаты х можно также рассматривать как контравариантные составляющие вектора х. В первых разделах этой главы мы будем иметь дело с комплексной областью. Плоскости, которые мы будем рассматривать, проходят все через начало.

I. Изотропные v-плоскости и матрицы, соответствующие векторам

92. 2^v уравнений изотропной у-плоскости.

Нетрудно видеть, что уравнения, определяющие изотропную плоскость (в которой все векторы изотропны), устанавливают по крайней мере одно соотношение между в противном случае было бы невозможно обратить в нуль форму принимая за линейные формы от Таким образом, число измерений изотропной плоскости не больше у. Мы установив сейчас вид уравнений изотропной плоскости, предполагая общий случай, когда между не существует ни одного линейного соотношения.

Пусть

единственное соотношение между причем коэффициент не равен нулю. Учитывая это соотношение,

приводим полином к следующему виду:

а это позволяет положить

Уравнения (1) и (2) определяют искомую -плоскость, К ним мы прибавим новые. Образуем комбинацию

и положим

получаем новые уравнения

причем коэффициенты. имеют характер составляющих тривектора (меняют знак при нечетной перестановке индексов). Образуем теперь комбинацию

и положим

получаем новые уравнения

причем коэффициенты имеют характер составляющих -вектора.

Продолжая далее, мы введем коэффициентов обладающих тем свойством, что они сохраняют знак при четной перестановке индексов и меняют на обратный при нечетной, и линейных форм обладающих тем же свойством. Величины где через а обозначен составной индекс: определяются рекуррентно через Если четное, то

если нечетное, то

Формы определяются соотношениями:

Отметим еще, что каждое с четным числом индексов может быть выражено с точностью до отрицательной степени при помощи суммы

в которой суть индексы расположенные в таком порядке, чтобы перестановка была одинаковой четности с перестановкой два члена этой суммы, содержащие одинаковые множители (с точностью до знака), учитываются только один раз.

2’ уравнений параметрами определяют в случае изотропную -плоскость, причем должны удовлетворять соотношениям а) и . В дальнейшем (п. 106) мы увидим, что в случае эти уравнения также могут определять изотропную -плоскость, если удовлетворяют соотношениям а), и дополнительным, которые мы получим; мы увидим также, что таким образом может быть получена каждая изотропная -плоскость.

93. Матрица, соответствующая вектору.

Мы будем называть спинором систему произвольных величин вообще говоря не связанных соотношениями а) и и преобразующихся при вращениях и отражениях по законам, которые мы введем в дальнейшем (пп. 96 и 97). Мы убедимся a posteriori, что такое введение операций вращения и отражения совместимо со свойством определенного класса спиноров соответствовать изотропной -плоскости.

Рассмотрим теперь форм и в каждой из них коэффициенты при Если расположить составных индексов в определенном порядке, то эти коэффициенты могут быть приняты за элементы матрицы порядка ; каждый отличный от нуля элемент равен с точностью до знака одной из координат которые мы будем считать за контравариантные составляющие вектора х. Мы сопоставляем такам образом каждому вектору х матрацу X порядка ; эта матрица вполне определяется выбранным порядком в системе составных индексов. Например, если при индексы расположить в следующем порядке 0,1,2,12, то получим (на основании соотношений (1), (2), (3))

В этом частном случае матрицы, соответствующие векторам базиса, имеют вид

94. Основная теорема.

Основное свойство матрицы X, соответствующей некоторому вектору, заключается в следующем:

Теорема. Квадрат матрицы X, соответствующей вектору равен скалярному квадрату этого вектора.

Для доказательства этой теоремы заметим, что единственные не равные нулю элементы матрицы обозначает номер строки, Р — столбца) суть:

На основании этого элемент матрицы , например:

где суммирование распространено на составных индексов, может быть отличен от нуля только в том случае, если равно или Если или 1, то индексов Должны фигурировать среди индексов в случае или 1 должна иметь место обратная картина; наконец, если то у обоих составных индексов должно быть по крайней мере общих индексов.

Если то даже те элементы , которые мы отметили выше, равны нулю; в самом деле, эти элементы равны

то же самое имеем, если Тот же результат получается, еслн (или ), так как

Наконец, если , то мы должны исследовать элементы

Первые равны нулю: доказательство аналогично предыдущему. Вторые равны

Из этой теоремы непосредственно вытекает, что скалярное произведение двух векторов есть полусумма произведений двух соответствующих матриц.

Доказательство то же, что и для пространства (п. 56, теорема III).

Отсюда вытекают следующие соотношения для матриц соответствующих взаимно перпендикулярным единичным векторам:

96. Матрица, соответствующая p-вектору.

p-вектору, определенному векторами можно отнести, матрицу

где сумма распространена на все перестановки индексов причем знак или — берется в зависимости от того, четной или нечетной является перестановка элементами этой матрицы являются линейные комбинации составляющих -вектора. Мы будем обозначать матрицу, соответствующую -вектору, символом X. Если векторов взаимноперпендикулярны, то матрица, соответствующая -вектору, равна

Пользуясь этим видом для матрицы, нетрудно показать, что квадрат матрицы X, соответствующей -вектору, равен квадрату меры этого -вектора, умноженному на например если векторы X и Y взаимно перпендикулярны, то

В дальнейшем мы увидим (п. 98), что матрицы, соответствующие двум различным -векторам, различны и что матрица, соответствующая -вектору, тождественна с матрицей, соответствующей некоторому -вектору.