83. Линейные представления прямого произведения двух групп.
Предположим, что теорема о полной приводимости имеет место для каждой из составляющих групп 
, что мы имеем действительно в рассматриваемом случае. Каждое линейное представление группы 
дает линейное представление ее подгруппы О; по предположению это представление может быть разложено на определенное число неприводимых представлений. Рассмотрим одно из них, порядка 
и предположим, что существует 
других, эквивалентных ему; пусть
— составляющие этих 
неприводимых представлений. Пусть 
— элемент группы 
— элемент группы 
обозначим через 
переменные, преобразованные из 
посредством 
и 
перестановочны:
если мы применим к переменным 
сначала 
а затем 
то переменная х преобразуется сначала в 
а затем в 
если, наоборот, применим сначала 
то 
преобразуется в 
следовательно, элемент 
примененный к 
дает 
Другими словами, элементами группы О составляющие 
преобразуются как 
Следовательно, имеем (п. 33)
В результате при применении элемента 
имеем преобразование
матрица (а показывает, как элемент 
группы 
преобразует между собой составляющие одного из тензоров матрица 
как элемент 
группы 
преобразует между собой А тензоров 
неприводимых относительно О. Матрицы 
определяют неприводимое линейное представление группы О
матрицы 
определяют представление группы 
Мы видим, таким образом, что 
переменных 
преобразуются линейно между собой при применении группы 
рассматриваемое линейное представление группы 
разложится, таким образом, на такое число неприводимых представлений, сколько в индуцированном представлении группы О имеется неприводимых неэквивалентных представлений. Кроме того, мы видим, что 
переменных 
преобразуются как произведения составляющих неприводимого представления группы 
на составляющие представления группы О. Так как это последнее вполне приводимо, то и представление 
само вполне приводимо, причем каждая часть является произведением неприводимого представления группы О на неприводимое представление группы О. Таким образом, имеет место
Теорема. Каждый тензор, неприводимый относительно прямого произведения 
двух групп 
и 
эквивалентен произведению тензора, неприводимого относительно 
на тензор, неприводимый относительно О; если теорема о полной приводимости имеет место для О и 
то она имеет место и для их прямого произведения.
