ГЛАВА VI. СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА E2

I. Изотропные v-плоскости и полуспиноры

120. Изотропные v-плоскости.

Мы переходим от пространства к пространству полагая в первом Получаем фундаментальную форму

В пространстве изотропные плоскости имеют не больше измерений; в самом деле, плоскость, перпендикулярная к изотропной -плоскости, имеет измерений, и так как она содержит эту -плоскость, то то есть . С другой стороны, каждая изотропная -плоскость пространства может быть рассматриваема в пространстве гиперплоскостью которого является как -плоскость, перпендикулярная к вектору Составляющие простого спинора , соответствующего этой -плоскости в пространстве должны, таким образом, удовлетворять соотношению вида

откуда умножением на получаем

Если то отсюда вытекает, что все с нечетным числом индексов равны нулю; если то все с четным числом индексов равны нулю. Обратно, если простой спинор пространства обладает тем свойством, что все составляющие с четным (нечетным) числом индексов равны нулю, то соответствующая -плоскость лежит в пространстве так как имеем , что показывает инвариантность -плоскости при семметрии

121. Полуспиноры.

Назовем полуспинорами пространства систему чисел в которой все составляющие с четным

(нечетным) числом индексов равны нулю. Существует два рода полуспиноров: полуспиноры первого рода (которые мы будем обозначать через с четным числом индексов и полуспиноры второго рода (которые мы будем обозначать через с нечетным числом индексов. При применении симметрии в пространстве эти два рода полуспиноров переходят один в другой; это вытекает из того, что операции и над спинором пространства переводят каждую составляющую с четным числом индексов в составляющую с нечетным и обратно. Таким образом, вращение преобразует полуспиноры каждого рода между собой. В частности, два семейства изотропных -плоскостей пространства преобразуются одно в другое при отражении и каждое в самое себя при вращении.