17. Дополнительные мультивекторы.
Рассмотрим неизотропный вектор; будем говорить, что 
-вектор является дополнительным к этому 
-вектору, если плоскость первого является геометрическим местом прямых, перпендикулярных к 
-плоскости данного 
-вектора, если мера 
-вектора равна мере 
-вектора и если, наконец, 
-эдр, образованный из 
векторов данного 
-вектора и 
векторов 
-век-тора, имеет положительную ориентацию. Заметим, что 
-плоскость искомого 
-вектора вполне определена и не имеет общих направлений с 
-плоскостыо данного 
-вектора 
противном случае этот последний был бы изотропным).
Предположим, что 
Уравнения, выражающие условие, что некоторый вектор 
перпендикулярен к 
векторам 
имеют вид;
исключая 
получаем соотношение
аналогично получаем:
Таковы уравнения 
-плоскости искомого дополнительного 
-вектора. С другой стороны, если обозначить через 
ковариаитные составляющие этого 
-оектора, уравнения его 
-плоскости имеют вид:
принимая последовательно за 
комбинации 
и т. д.отождествляя с ранее полученными уравнениями 
-плоскости, мы видим, что между 
и 
существует пропорциональность, причем предполагается, что перестановка 
четная. Таким образом, можно положить
Записав, что 
-вектор и дополнительный 
-вектор имеют одинаковый объем, имеем 
. С другой стороны, 
-вектор, образованный из векторов 
-вектора и 
-вектора, имеет меру, равную
где сумма распространяется на все сочетания 
по 
индексов. Эта мера равна квадрату меры 
-вектора, поэтому 
откуда следуют формулы:
Примечание. При определении 
-вектора, дополнительного к данному 
-вектору, мы предполагали, что этот последний неизотропен; однако, полученные формулы имеют общее значение и позволяют распространить определение на все возможные случаи; может случиться, что 
-вектор равен своему дополнительному (конечно, если 
