III. Тензоры приводимые и неприводимые

29. Определение.

Тензор, соответствующий группе называется приводимым, если из его составляющих можно образовать линейных комбинаций с постоянными комплексными коэффициентами, обладающих тензорным характером, то есть линейно преобразующихся между собой любым преобразованием из группы О.

Тензор, не являющийся приводимым, называется неприводимым.

Тензор называется вполне приводимым, если при помощи линейного преобразования над составляющими их можно разбить на определенное число классов:

таким образом, что составляющие каждого класса линейно преобразуются между собой неприводимым образом.

Ясно, что тензор, эквивалентный неприводимому, сам является неприводимым; то же имеет место в случае полной приводимости.

Тензор, принадлежащий к группе О, дает ее линейное представление, а также и каждой. подгруппы этой группы; таким образом, он является тензором и для Если он неприводим относительно подгруппы то он, очевидно, является неприводимым и относительно О, но обратное не всегда справедливо. Мы уже приводили пример, когда О является группой вращений и отражений, группой вращений.

30. Критерий неприводимости.

Понятие неприводимости можно представить следующим образом. Будем интерпретировать составляющих рассматриваемого тензора как составляющие вектора -мерного пространства. Если этот тензор приводим, то существует линейных комбинаций величин преобразующихся линейно между собой преобразованиями из группы О. Следовательно, плоскость , проходящая через начало и определяемая приравниванием нулю этнх форм, инвариантна относительно группы О. Обратно, если О оставляет инвариантной некоторую плоскость , проходящую через начало, левые части линейных уравнений, определяющих И, преобразуются между собой линейно при подстановках то есть тензор является приводимым. Таким образом, тензор тогда и только тогда является неприводимым, если преобразования не оставляют инвариантной никакую плоскость, проходящую через начало.

31. Одно свойство неприводимых тензоров.

Отсюда можно вывести одно свойство неприводимых тензоров, которое будет полезно для нас в дальнейшем. Будем интерпретировать каждый частный тензор рассматриваемого семейства тензоров вектором и в -мерном пространстве Мы не получим, таким образом, обязательно всех векторов пространства но так как не существует линейной и однородной зависимости между составляющими тензоров семейства, то каждый вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов, интерпретирующих тензоры семейства. Предположим, что тензор неприводим и применим к вектору изображающему некоторый частный тензор семейства, все преобразования из группы О. Мы получим определенную совокупность векторов. Эти векторы не могут лежать в одной и той же плоскости П, проходящей через начало, В самом деле, пусть П имеет наименьшее число измерений среди таких плоскостей; тогда каждый вектор а плоскости II является линейной комбинацией определенного числа векторов совокупности, например, векторов, которые получаются из при помощи преобразований Применив к этому вектору и преобразоваьле из группы определяемое

подстановкой мы получим ту же линейную комбинацию векторов которые все по предположению лежат в II. Следовательно, преобразования оставляют инвариантной плоскость II, а так как тензор неприводим, то это может быть только в том случае, если II совпадает со всем пространством.

32. Проблема.

Рассмотрим неприводимый вектор с составляющими Исследуем вопрос, существует ли такое линейное преобразование составляющих (преобразование базиса), при котором новые составляющие для каждого элемента из группы О преобразуются той же самой линейной подстановкой что и старые составляющие.

Пусть — искомая линейная подстановка, преобразующая старые составляющие в новые; тогда при любом преобразовании мы должны иметь:

В пространстве векторов и существует всегда вектор который при преобразовании не изменяет направления, а умножается только на некоторое число . В самом деле, пусть определяется уравнениями

ищем чисел удовлетворяющих уравнениям:

Эти уравнения допускают нетривиальное решение, если определитель

равен нулю; достаточно за принять однн из корней этого полинома.

Из уравнения

и соотношений (1) выводим

таким образом, преобразование о умножает вектор на Но так как тензор приводим, то каждый вектор пространства является линейной комбинацией векторов то есть при применении а умножается на . Следовательно,

Теорема. Единственное линейное преобразование переменных, оставляющее инвариантными все подстановки линейного неприводимого представления группы состоит в умножении всех переменных на один и тот же постоянный множитель .