118. Произведение двух сопряженных спиноров.

Произведение двух сопряженных спиноров является тензором, который можно разложить на неприводимые тензоры, заменяя в тензорах 3 спинор спинором, сопряженным с . Мы должны, таким образом, рассмотреть выражения:

Прежде чем исследовать природу этих тензоров, важно отметить, относительно какой группы мы их будем рассматривать.

Напомним (п. 12), что группа линейных подстановок, оставляющая инвариантной фундаментальную форму, делится на четыре связных семейства:

1° Собственные вращения, являющиеся произведениями четного числа пространственных симметрий и четного числа временных.

2° Несобственные вращения — произведения нечетного числа пространственных симметрий и нечетного числа временных.

3° Собственные отражения — произведения нечетного числа пространственных симметрий и четного числа временных.

4° Несобственные отражения — произведения четного числа пространственных симметрий и нечетного числа временных.

Пространственная симметрия соответствует вещественному единичному пространственному вектору она преобразует вектор X в и спинор в спинор Временная симметрия соответствует временному вещественному единичному вектору ; она преобразует вектор X в спинор в спинор Группа собственных вращений и отражений характеризуется тем свойством, что она оставляет инвариантной ориентацию времени измерений).

При применении пространственной симметрии А выражение умножается на при применении симметрии временной оно умножается на

Отсюда следует, что относительно группы вращений а отражений, собственных и несобственных, неприводимые тензоры, на которые разлагается тензор не являются мультивекторами.

Если же ограничиться рассмотрением группы собственных вращений и отражений, оставляющих инвариантной временную ориентацию, то эти тензоры эквивалентны мультивекторам.

Выражение не изменяется при собственном вращении и умножается на при собственном отражении. Следовательно, оно определяет -вектор или -вектор в зависимости от того, имеют ли и одинаковую четность или неодинаковую.

Как и в случае положительно определенной фундаментальной формы, доказывается, что -векторы, построенные при помощи двух сопряженных спиноров, вещественны.