ГЛАВА II. ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ

I. Определение тензоров

20. Первый пример линейного представления.

Выше мы рассматривали линейные преобразования определяющие вращение вектора х эвклидова пространства отнесенного к некоторому неподвижному декартову реперу Эти линейные преобразования имеют следующее очевидное свойство: если преобразования соответствуют вращениям преобразование, соответствующее вращению (получающемуся в результате последовательного применения , является произведением подстановок S и S. Мы будем говорить, что совокупность преобразований образует линейное представление группы вращений.

Если ввести новый репер, который не может быть получен из старого при помощи вращения или отражения, то вращение определявшееся подстановкой выразится при помощи нового линейного преобразования Т. Совокупность преобразований Т дает новое линейное представление группы вращений. Очевидно, что существует тесная зависимость между этими двумя представленнямн, которые аналитически выражают одни и те же геометрические операции над одними и темн же геометрическими объектами. Эта зависимость заключается в следующем: если суть составляющие вектора в первом репере, —составляющие того же вектора во втором, то зависимость между выражается некоторой линейной подстановкой преобразование Т получается соответствующего преобразования , если над переменными выполнить одну и ту же линейную подстановку, именно, ту, которая преобразует в У. Таким образом, мы переходим

следовательно, переход от происходит при помощи преобразований , а это записывается при помощи следующей формулы

Мы будем говорить, что линейное представление Т группы вращений эквивалентно линейному представлению причем эта эквивалентность выражается в том, что существует определенное линейное преобразование о, при помощи которого каждой подстановке первого представления соответствует преобразование второго.