V. Линейные представления группы вращений и отражений

87. Постановка проблемы.

Зададимся целью определить все линейные представления:

1° группы комплексных вращений и отражений;

2° группы вращений и отражений вещественного эвклидова пространства;

3° группы собственных и несобственных вращений вещественного псевдоэвклидова пространства;

4° группы собственных вращений и собственных отражений того же пространства;

5° группы собственных вращений и несобственных отражений того же пространства.

В каждом из этих случаев мы имеем группу образованную из двух непрерывных семейств , из которых первое образует непрерывную группу; будем употреблять обозначение . Мы знаем в каждом случае все линейные представления группы и что теорема о полной приводимости

применима. Наконец, для каждого линейного представления группы мы знаем линейное представление группы дающее для данное представление.