§ 9. Закон сохранения количества движения в изолированной системе

Изолированной системой называется группа тел, взаимодействующих друг с другом и не взаимодействующих ни с какими иными телами. Понятие изолированной системы будет рассмотрено подробнее в связи с термодинамическими процессами и энтропией (см. § 69 и 72). Здесь мы только отметим, что абсолютно изолированных систем не существует. Невозможно полностью изолировать систему от внешней (окружающей) среды хотя бы потому, что нет абсолютных теплоизоляторов и средств, экранирующих действие гравитационных полей. Однако во многих случаях взаимодействие системы с внешней средой может оказаться несущественным для тех протекающих в системе процессов, которые рассматриваются в данной задаче. Поэтому в целом ряде конкретных задач реальные системы можно считать изолированными. В конце этого параграфа мы рассмотрим в качестве примеров несколько таких систем.

Представим себе механическую изолированную систему, состоящую из тел. Пусть для наглядности это будут упругие шары, беспорядочно движущиеся в некоторой части пространства (благодаря взаимным столкновениям). Сталкиваясь друг с другом, тела изменяют свое количество движения. Рассматривая взаимодействие тел в

течение небольшого промежутка времени и применяя к каждому из тел закон изменения количества движения (4), напишем:

где результирующая всех сил, действующих на тело, масса тела, его скорости в начале и в конце промежутка времени Складывая эти равенства почленно, получим

Левая часть равенства представляет собой произведение на геометрическую сумму всех сил, действующих на тела изолированной системы. Силы эти — внутренние; внешние силы на изолированную систему не действуют. Так как, по третьему закону Ньютона, каждой силе соответствует равная по величине противодействующая сила, то при сложении все эти силы взаимно уничтожаются, и левая, а следовательно, и правая часть последнего равенства обратятся в нуль. Тогда

Это означает, что сумма количества движения всех тел не изменяется со временем:

Формула (6) выражает закон сохранения количества движения: в изолированной системе сумма количеств движения всех тел есть величина постоянная.

Этот закон справедлив и для любого промежутка времени в чем легко убедиться, применяя в данном выводе к каждому из тел обобщенный закон изменения количества движения (5). Закон сохранения количества движения применим не только к механическим, но и ко всяким изолированным системам. Он находит широкое отражение в природе и технике.

Рассмотрим явление отдачи (откатка) орудия при выстреле. Определяющую роль в этом явлении играет сила взаимодействия снаряда и орудия. Она значительно превосходит силы трения (см. § 11) и тяготения (см. § 12), действующие на снаряд и орудие при выстреле. Поэтому можно считать систему снаряд — орудие изолированной и применить к ней закон сохранения количества движения:

где масса и скорость снаряда, масса и скорость орудия. Так как в начале промежутка времени выстрела) система покоилась то константа в формуле (7) равна нулю. При выстреле система разделяется на две части (снаряд и орудие), которые могут разлететься только вдоль общей прямой. Поэтому равенство (7) справедливо как для векторов скоростей, так и для их числовых значений. Тогда получим

откуда

Так как то знак минус указывает на противоположность направления скоростей орудия и снаряда. Оба эти следствия, как известно, согласуются с опытом.

Особый интерес представляет приложение закона сохранения количества движения к явлению «непрерывной отдачи», происходящему в реактивном двигателе (ракете). В этом случае изолированная система состоит из тела ракеты и вытекающего из его сопла газообразного продукта сгорания. Приближенно ракету можно рассматривать как орудие, непрерывно стреляющее струей газа и потому непрерывно движущееся в сторону, противоположную направлению этой струи. Однако пользоваться формулой (8) для расчета скорости ракеты уже нельзя хотя бы потому, что (в отличие от массы орудия) масса ракеты непрерывно изменяется — уменьшается по мере расхода горючего материала.

Ракета — единственный аппарат, способный приходить в движение и изменять свое движение без опоры (без посредства внешней среды). Поэтому реактивный двигатель является единственно возможным двигателем космических снарядов и кораблей.

Приоритет в области теории и практики реактивного движения принадлежит нашей стране. Первый проект реактивного летательного аппарата был составлен в 1881 г. студентом Института инженеров путей сообщения, революционером Я. И. Кибальчичем (казненным за участие в покушении на Александра И). К сожалению, этот проект был обнаружен только после Великой Октябрьской революции. В 1897 г. профессор Петербургского университета Я. В. Мещерский вывел уравнение движения тела переменной массы. Исключительно большую роль в развитии теории реактивного движения и космических полетов сыграли работы К. Э. Циолковского, выполненные в начале текущего столетия. Обширные исследования советских ученых завершились в последнее время успешными запусками первых в мире искусственных спутников Земли, искусственной планеты, межконтинентальных баллистических снарядов и автоматической станции «Венера-4», совершившей посадку на поверхность Венеры.

Триумфом советской науки и техники явились первый в мире космический полет человека на корабле-спутнике «Восток», осуществленный 12 апреля 1961 г. Ю. А. Гагариным, и первый выход человека в космическое пространство из корабля-спутника «Восход-2»,

выполненный 19 марта 1965 г. А. А. Леоновым. Эти события открыли новую в истории человечества — космическую

В природе реактивное движение используется некоторыми живыми организмами. Например, кальмары, спруты, медузы и некоторые двустворчатые моллюски передвигаются посредством отдачи выбрасываемой ими из особых полостей тела. При этом кальмары развивают весьма большую скорость движения, достигающую

Своеобразным реактивным снарядом является «бешеный огурец» — растение южного Крыма. Внутри созревшего плода этого растения находится жидкость под повышенным давлением. Будучи оторванным от стебля, «бешеный огурец» вырывается из рук и отлетает в сторону за счет отдачи струи жидкости, выбрасываемой из отверстия, образующегося в месте крепления к плодоножке.

Задача 4. Две гири весом соединены нитью и перекинуты через невесомый блок (рис. 13). Найти ускорение а, с которым движутся гири, и натяжение нити.

Решение. Ускоряющая сила или, по второму закону Ньютона, где есть массы гирь. Тогда из равенства получим

Натяжение нити со стороны первой (падающей) гири

Натяжение нити со стороны второй (поднимающейся) гири

Таким образом, чего и следовало ожидать, учитывая невесомость (безынерционность) блока. Общее доказательство этого нетрудно получить, подставив выражение ускорения а в формулы для что предоставляется сделать читателям.

Задача 5. Граната, летящая со скоростью при разрыве разлетелась на два осколка. Большой осколок, масса которого составляла 60% массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью Найти скорость меньшего осколка.

Рис. 13

Решение. Рассматривая гранату как изолированную систему, можем написать по закону сохранения количества движения (6):

где масса меньшего осколка.

Очевидно, что Поэтому откуда

Знак «минус» показывает, что меньший осколок летит в направлении, противоположном первоначальному направлению движения гранаты.