§ 46. Средняя длина свободного пробега молекул

Ввиду хаотичности теплового движения траектория молекул представляет собой ломаную линию, похожую на траекторию броуновской частицы. Изломы траектории соответствуют столкновениям молекул друг с другом. Изобразим путь, пройденный некоторой молекулой за одну секунду (рис. 82). Назовем длиной свободного пробега молекулы X путь, проходимый ею между двумя последовательными столкновениями. Длина свободного пробега все время меняется. Поэтому следует говорить о средней длине свободного пробега X как о среднем пути, проходимом молекулой между двумя последовательными столкновениями. Очевидно, что для определения X достаточно разделить весь путь, пройденный молекулой за секунду и численно равный ее средней

Рис. 82

скорости на среднее число столкновений 2, испытываемых молекулой за секунду:

Для определения учтем размер молекул, рассматривая их как шарики радиусом (рис. 83). Возьмем мысленно под наблюдение одну из молекул (крайнюю слева на рисунке) и изобразим путь, пройденный ею за секунду. Остальные молекулы пока считаем неподвижными. Очевидно, что движущаяся молекула столкнется только с теми молекулами, центры которых лежат внутри ломаного цилиндра радиусом (осью цилиндра является траектория молекулы).

Рис. 83

Следовательно, среднее число столкновений за секунду равно числу молекул в объеме V ломаного цилиндра:

где число молекул в единице объема. Объем ломаного цилиндра можно с пренебрежимо малой ошибкой приравнять к объему спрямленного цилиндра высотой и площадью основания Поэтому

Рис. 84

В этом выводе мы полагали, что все молекулы, кроме взятой под наблюдение, неподвижны. В действительности они тоже движутся. Поэтому, как показывает более строгий расчет, число столкновений оказывается в раз больше выведенного нами:

При более строгом расчете числа столкновений надо исходить не из средней абсолютной скорости а из средней относительной скорости движения молекул. Если две молекулы движутся со скоростями то относительная скорость первой молекулы относительно второй равна векторной разности этих скоростей (рис. 84):

Согласно теореме косинусов, напишем для величин этих скоростей следующее соотношение:

где а — угол между направлениями абсолютных скоростей. Очевидно, что такое же соотношение имеет место и между средними значениями членов последней

формулы, так как среднее арифметическое суммы равно сумме средних арифметических значений слагаемых. Поэтому

где и представляют собой квадраты средних квадратичных скоростей.

Так как средняя квадратичная скорость одна для всех молекул и обозначается буквой а, то

Ввиду хаотичности движения угол а с одинаковой вероятностью может иметь все возможные значения от до 360°, — все возможные значения от до . Поэтому среднее значение из многих произведений, содержащих а, близко к нулю. Тогда, полагая и принимая во внимание формулу (34), получим из формулы (33)

откуда

Поскольку средняя арифметическая скорость отличается от средней квадратичной только постоянным множителем [см. § 45, формула (30)], соотношение (35) имеет место и для средних арифметических скоростей:

Подставив в формулу (32) вместо средней абсолютной скорости среднюю относительную скорость получим уточненную формулу для

совпадающую с формулой (32).

Подставляя значение в формулу (31), найдем выражение для средней длины свободного пробега молекул:

согласно которому X не зависит от температуры. Опыт же показывает, что X несколько возрастает с повышением температуры. Это объясняется тем, что с повышением температуры увеличивается скорость молекул, благодаря чему сталкивающиеся молекулы могут ближе подходить друг к другу (преодолевая силы межмолекулярного отталкивания). Таким образом, с повышением температуры уменьшается радиус шарообразной модели молекулы, а вместе с ним уменьшаются объем ломаного цилиндра (рис. 83) и число столкновений При этом, согласно формуле (31), X возрастает.

Зависимость средней длины свободного пробега X от температуры выражается формулой Сезерлэнда:

где значение средней длины свободного пробега, вычисленное по формуле (36), С — постоянная величина, определяемая опытным путем

Так как пропорционально давлению газа [см. § 42, формула (18)], а давление в свою очередь пропорционально плотности газа [см. § 40, формула (12)], то, согласно формуле (36), средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению газа или его плотности. Поэтому

Подсчитаем значения и X для газа, находящегося при нормальных условиях. Полагая

найдем по формуле (32)

Тогда по формуле (31) получим

По мере понижения давления газа средняя длина свободного пробега его молекул возрастает и при сильном разрежении, например при достигнет нескольких метров. В самом деле, применяя формулу (37), получим

откуда