§ 22. Моменты инерции некоторых тел

Для неоднородных тел и тел неправильной формы момент инерции определяют экспериментально, а для однородных тел геометрически правильной формы — посредством интегрирования. Правда, для тонкого стержня момент инерции можно рассчитать и элементарным путем.

Рис. 31

Пусть тонкий однородный стержень массой длиной площадью поперечного сечения и плотностью может вращаться относительно перпендикулярной оси 00, проходящей через его конец (рис. 31). Разобьем стержень на большое число малых элементов длиной и массой Момент инерции каждого такого элемента, согласи о формуле (2), равен

где среднее геометрическое расстояние элемента от оси вращения, и соответственно расстояния от начала и от конца элемента до этой оси. поэтому

Умножая и деля правую часть последнего равенства на и учитывая, что получим

Будем теперь бесконечно увеличивать число элементов, делая тем самым длину каждого из них бесконечно малой. Тогда, согласно

определению, момент инерции всего стержня будет равен пределу суммы моментов инерции всех элементов:

Легко убедиться в том, что

В самом деле, как показывают непосредственные вычисления, последнее равенство верно для следовательно, оно верно и для Покажем, что оно остается справедливым и для

Таким образом, рассматриваемое равенство оказывается справедливым для любого целого значения в том числе и для Тогда

Аналогично выводится формула и для момента инерции тонкого стержня относительно перпендикулярной оси, проходящей через его середину. Этот расчет читатели могут сделать самостоятельно.

Выведенное выражение момента инерции тонкого стержня проще всего получить посредством интегрирования. Для этого стержень, который мы разбивали раньше на элементов длиной и массой (см. рис. 31), разобьем теперь на бесконечно большое число бесконечно малых элементов длиной и массой Обозначив расстояние от оси 00 до одного из таких элементов через напишем, что момент инерции элемента стержня

Тогда момент инерции всего стержня

Но масса стержня поэтому

Приведем (без вывода) формулы для расчета момента инерции некоторых однородных тел геометрически правильной формы массой относительно оси симметрии .

1. Момент инерции тонкого стержня длиной (рис. 32, а)

2. Момент инерции бруска длиной а и шириной (рис. 32, б)

Рис. 32

3. Момент инерции кольца, внешний радиус которого а внутренний — (рис. 32, в),

4. Момент инерции тонкостенного кольца (обруча) радиусом (рис. 32, г)

Формулу (9) легко получить, полагая в формуле

5. Момент инерции диска (цилиндра) радиусом (рис. 32, д)

Формулу (10) легко получить, полагая в формуле

6. Момент инерции шара радиусом (рис. 32, е)

Если ось вращения тела параллельна оси симметрии , но смещена от нее на расстояние то момент инерции относительно параллельно смещенной оси выражается соотношением, называемым теоремой Штейнера:

где момет инерции тела относительно оси симметрии. Например, момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно к стержню через его конец, равен

что совпадает с результатом расчетов, проведенных в начале данного параграфа.