§ 133. Квантовая теория строения атома водорода (по Бору). Объяснение спектров излучения и поглощения водорода

В атоме водорода вокруг ядра (протона), несущего один элементарный заряд движется один электрон. Ядро можно считать неподвижным, поскольку его масса в 1840 раз больше массы электрона; орбиты электрона можно (в первом приближении) полагать круговыми.

Очевидно, что центростремительной силой, удерживающей электрон на орбите радиусом является кулоновская сила притяжения между электроном и ядром:

где масса электрона, его скорость, электрическая постоянная.

Решая уравнение (13) совместно с уравнением (11), получим после простых преобразований выражение радиуса стационарных орбит атома водорода

где квантовое число имеет значения По формуле (14) можно рассчитать радиус любой стационарной орбиты. Так, например, радиус ближайшей к ядру орбиты равен

В правой части уравнения (14) все величины, кроме являются постоянными. Следовательно, радиусы стационарных орбит относятся между собой как квадраты чисел натурального ряда, т. е. как

Орбиты водородного атома, рассчитанные по формуле (14), изображены на рис. 358; выраженные в пикометрах значения радиуса орбит равны: большого радиуса вычерчены неполностью).

Рис. 358

Определим теперь полную энергию электрона в атоме. Она слагается из кинетической энергии поступательного движения электрона по орбите и потенциальной энергии притяжения электрона к ядру.

Учитывая формулу (13), получим

Что касается потенциальной энергии электрона, то она должна быть отрицательна и равна

[согласно расчету потенциальной энергии системы двух разноименных зарядов, который был выполнен в § 78, формула Поэтому

т. е. полная энергия электрона оказывается отрицательной и равной по абсолютной величине его кинетической энергии.

Подставляя в формулу (17) выражение радиуса (14), получим

По этой формуле можно рассчитать энергию электрона для любой стационарной орбиты. Так, например, для ближайшей к ядру орбиты получим

Величина полной энергии электрона, находящегося на стационарной орбите, называется уровнем энергии атома (или энергетическим уровнем). На рис. 359 схематически изображены уровни энергии водородного атома, рассчитанные по формуле (18); здесь же указаны соответствующие им значения энергии в электрон вольтах

Согласно формуле (18), энергия атома возрастает с увеличением квантового числа или, что то же, с увеличением радиуса электронной орбиты. Здесь надо учитывать, что энергия отрицательна; поэтому уменьшение ее абсолютной величины соответствует возрастанию энергии. Минимумом энергии атом обладает при движении электрона по ближайшей к ядру орбите а максимумом энергии при движении электрона по самой дальней орбите

Рис. 359

При переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую (ближнюю к ядру) орбиту излучается квант энергии, равный разности энергетических уровней атома до излучения и после него. Так, например, переход электрона со второй орбиты на первую сопровождается излучением кванта а переход электрона с третьей орбиты на вторую сопровождается излучением кванта Этим излучениям соответствуют следующие значения частот (длин волн):

Самопроизвольный переход электрона на более далекую орбиту т. е. самопроизвольный переход атома на более высокий энергетический уровень невозможен. Для осуществления такого перехода необходимо сообщить атому определенное количество энергии извне, т. е. возбудить атом. Так, например, переход электрона о первой стационарной орбиты на вторую совершается при поглощении атомом кванта, равного а переход электрона со второй орбиты на третью — поглощением кванта, равного

Таким образом, атом может излучать и поглощать волны только вполне определенных частот (длин), чем и обусловлен линейчатый характер водородного спектра.

Нормальным состоянием атома является такое, при котором электрон движется по самой близкой к ядру орбите В этом случае атом не может излучать, поскольку электрон не имеет возможности перейти этой орбиты еще ближе к ядру. Энергетический уровень соответствующий нормальному состоянию атома, называется нормальным уровнем; все остальные уровни называются возбужденными.

Выведем теперь общую формулу частоты излучения атома. Для этого подставим выражение энергии (18) в условие частот (12):

где квантовое число и энергия, соответствующие начальному состоянию атома излучения), те же характеристики конечного состояния атома (после излучения). Величина постоянного множителя, стоящего в правой части формулы (19), оказывается равной постоянной Ридберга:

в чем легко убедиться, подставляя в формулу (20) численные значения универсальных постоянных Тогда формула (19) примет вид

Сопоставление формулы (21) в эмпирическими сериальными формулами (8), (9) и (10) показывает, что они являются частными случаями формулы (21). В самом деле, при формула (21) дает серию Лаймана, при серию Бальмера, при серию Пашена.

Следовательно, спектральные линии серии Лаймана соответствуют излучению атома водорода при переходе электрона со второй, третьей, четвертой и т. д. орбит на первую; линии серии Бальмера соответствуют излучению при переходе электрона с третьей, четвертой, пятой и т. д. орбит на вторую; линии серии Пашена соответствуют излучению при переходе электрона в четвертой, пятой, шестой и т. д. орбит на третью.

Так как газ состоит из множества различно возбужденных атомов, то в нем одновременно совершаются все возможные типы переходов электрона. Поэтому в спектре излучения водорода одновременно представлены линии всех серий (при том, конечно, условии, что атомы все время возбуждаются посредством какого-либо внешнего источника энергии).

Образование спектральных серий Лаймана, Бальмера и Пашена схематически показано на рис. 358 и 359.

Отметим, что в каждой серии расстояние между спектральными линиями постепенно уменьшается в сторону коротких волн и в конце концов линии практически сливаются (см., например, рис. 357). Таким образом, каждая серия оказывается ограниченной со стороны коротких волн. Эта граница называется головой серии; ее частота определяется по формуле (21) при что соответствует падению свободного электрона на одну из стационарных орбит водородного иона (протона).

Рассмотренная теория строения атома водорода применима и к водородоподобным атомам, т. е. к ионизированным атомам, содержащим только один электрон (например, к ионам Однако в этом случае при выводе формул следует полагать заряд ядра равным не атомный номер элемента).

Применительно к водородоподобным атомам спектральная формула Бора (21) примет вид

Квантовая теория Бора сыграла важную роль в развитии физики. Количественно объяснив строение атома водорода и сложную структуру водородного спектра, она наметила правильный подход к изучению внутриатомных процессов. Правда, непосредственное использование теории Бора (в том виде, в каком она изложена ранее) для расчета спектров многоэлектронных атомов оказалось

невозможным. Понадобилось дальнейшее развитие этой теории, завершившееся созданием современной квантовой механики, количественно объясняющей все особенности строения и свойств атомов и молекул.

Тем не менее теория Бора дает возможность качественно (и притом весьма наглядно) объяснить общие черты строения многоэлектронных атомов и их спектров, в частности дает возможность обосновать закономерности расположения химических элементов в периодической системе Менделеева.

Ограниченность квантовой теории Бора обусловлена тем, что она не вполне последовательна в своих построениях: базируясь на квантовых исходных положениях (постулатах), она пользуется законами классической механики для описания движения электронов в атоме (в этом смысле ее можно было бы назвать «полуквантовой» теорией).

Между тем электрон в атоме уже не является обычной (классической) частицей, в чем легко убедиться, применив к этому электрону принцип Гейзенберга (см. § 20). Так как скорость электрона в атоме имеет порядок то неточность в ее определении по крайней мере не должна превышать величины самой скорости, т. е. максимально допускаемая неточность Тогда, согласно соотношению неопределенностей (принципу Гейзенберга), неточность в определении координаты

Но см есть размер самого атома. Следовательно, понятие местоположения электрона в атоме теряет смысл. Лишаются содержания и такие классические понятия, как траектория электрона в атоме и перемещение при его переходе с одной орбиты на другую (т. е. из одного энергетического состояния в другое). Итак, действительно, атомный электрон не является обычной частицей (в классическом смысле этого слова).

В связи с этим современная квантовая механика не устанавливает точного положения электронов в объеме атома, а рассматривает лишь вероятность нахождения электрона в том или ином месте объема. Это значит, что с точки зрения квантовой механики заряд электрона не сосредоточен в том месте, где в данный момент находится электрон, а распределен («размазан») по всему объему атома, образуя электронное облако переменной плотности. Плотность электронного облака в любой точке объема атома пропорциональна вероятности нахождения электрона в этой точке.

В современной квантовой механике состояние движения электронов в атоме характеризуется не одним, а четырьмя квантовыми числами (главным, побочным, магнитным и спиновым).

Главное квантовое число принимает только целочисленные значения от 1 до

Побочное (или орбитальное) квантовое число принимает целочисленные значения от до (всего значений).

Магнитное квантовое число принимает целочисленные значения от до включая (всего значений).

Спиновое квантовое число может иметь только два полуцелых значения .

Совокупность электронов, характеризующихся одним и тем же значением главного квантового числа образует электронный слой, или энергетический уровень атома.

Совокупность электронов с одним и тем же значением побочного квантового числа образует подгруппу, или энергетический подуровень. Электроны

данного подуровня несколько различаются между собой величиной энергии, обладая различными значениями магнитного или спинового квантовых чисел. Таким образом, квантовые числа определяют возможные значения энергий электронов в атоме, т. е. возможные энергетические состояния атома.

Распределение электронов в атоме по энергетическим уровням и подуровням (т. е. по значениям квантовых чисел) осуществляется на основе следующих двух принципов:

1) принципа Паули, согласно которому

в атоме не может быть электронов, характеризующихся одинаковой комбинацией значений квантовых чисел; иначе говоря, в атоме состояния всех электронов различны:

2) принципа минимума энергии:

распределение электронов в атоме соответствует минимуму энергии атома

Учитывая принцип Паули, можно найти максимальное число электронов в любом электронном слое атома. Так как имеет значений, а при каждом величина принимает два значения, то число электронов с данными равно При данном величина I принимает значений от до Поэтому максимальное число электронов, характеризующееся данным значением т. е. максимально возможное число электронов в данном слое, равно (в соответствии с формулой суммы членов арифметической прогрессии)

Устанавливаемые квантовой механикой закономерности внутриатомных процессов с исключительной точностью подтверждаются опытными данными, однако она уже не обладает той наглядностью и простотой, которые (с позиции привычных представлений) присущи теории Бора.