§ 45. Скорость поступательного движения молекул газа. Распределение числа молекул по скоростям

Для нахождения средней квадратичной скорости поступательного движения газовых молекул напишем полученные ранее (см § 42) выражения средней кинетической энергии поступательного движения молекул:

Приравняв правые части этих выражений, получим

откуда

но (молярной массе газа), поэтому

т. е. для данного газа средняя квадратичная скорость молекул пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры и зависисит только от нее. Формула (26) выражает среднюю квадратичную скорость молекул через легко измеряемую макроскопическую характеристику газа — температуру. Подсчитаем, например, среднюю квадратичную скорость молекул кислорода при температуре Так как то

Таким образом, при комнатной температуре молекулы газа движутся со скоростями, близкими к скорости полета снаряда.

Средняя квадратичная скорость — лишь статистическая характеристика движения молекул, полученная путем усреднения различных значений скорости множества молекул В действительности же молекулы движутся с различными скоростями даже при некоторой заданной температуре Разобьем весь диапазон этих скоростей на малые интервалы, равные Тогда на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул (имеющих скорость,

заключенную в этом интервале). Очевидно, что отношение показывает, сколько молекул приходится на каждый единичный интервал скорости, иными словами, каково распределение числа молекул по скоростям; зависит от скорости и называется функцией распределения числа молекул по скоростям. Эту функцию распределения впервые определил английский физик Максселл теоретическим путем — на основе теории вероятностей. Максвелловская функция распределения выражается следующей формулой, называемой законом Максвелла:

где общее число молекул газа, молярная масса газа, универсальная газовая постоянная, основание натуральных логарифмов.

Рис. 78

Из математического анализа закона Максвелла следует, что функция распределения стремится к нулю при и при а при

имеет максимум. Обозначим эту скорость буквой и назовем наиболее вероятной скоростью. Наиболее вероятной называется скорость, вблизи которой на единичный интервал приходится наибольшее число молекул; она рассчитывается по формуле

Из анализа закона Максвелла (27) следует, что графически он представляется кривой линией, исходящей из начала координат, достигающей максимума при затем асимптотически приближающейся к оси абсцисс (рис. 78). График наглядно показывает, что молекул с малыми и большими скоростями мало и что большинство молекул имеет скорости, близкие к наиболее вероятной скорости.

Чтобы яснее представить смысл наиболее вероятной скорости и распределения молекул по скоростям, рассмотрим конкретный пример. В некотором объеме кислорода при температуре 0° С содержится молекул, движущихся с различными скоростями Распределение числа молекул по скоростям представлено в таблице, где весь диапазон скоростей разбит на интервалы (интервалы взяты немалыми во избежание перегрузки таблицы большим количеством чисел).

Из таблицы видно, что подавляющее большинство молекул имеет скорость в пределах от 200 до 600 м/с. Больше всего молекул приходится на интервал скоростей от 300 до 400 м/с. В этом интервале и заключена наиболее вероятная скорость, равная, согласно формуле (28),

Из закона Максвелла можно получить выражение для средней арифметической скорости

Формулы (26), (28) и (29) показывают, что скорости различаются между собой только численными коэффициентами и Количественное соотношение между ними таково:

В нашем примере с кислородом при температуре оказалось, что Тогда по формулам (30) получим

(см. скан)

Отметив в соответствии с формулами (30) значения и на рис. 78, увидим, что средней арифметической скоростью обладает несколько меньшее число молекул, чем наиболее вероятной скоростью, а средней квадратичной скоростью обладает еще меньшее число молекул.

Отметим на оси абцисс (см. рис. 78) один интервал скоростей и проведем ординаты его границ. Площадь очень узкого (заштрихованного) прямоугольника равна т. е. числу молекул, имеющих скорость в интервале Следовательно, площадь, заключенная между всей кривой распределения и осью абцисс, равна общему числу молекул газа

При изменении температуры газа изменяются скорости движения всех молекул, а следовательно, и наиболее вероятная скорость. Поэтому максимум кривой будет смещаться вправо (при повышении температуры) или влево (при понижении температуры) Однако площадь, ограниченная кривой, останется неизменной, так как общее число молекул газа не зависит от температуры. В связи с этим при повышении температуры кривая распределения будет растягиваться и понижаться, а при понижении температуры, наоборот, — сужаться и повышаться, как это показано на рис. 79.

Рис. 79

Для экспериментальной проверки закона Максвелла немецкий физик Штерн в 1920 г. поставил специальный опыт. Прибор Штерна состоял из двух жестко скрепленных друг с другом цилиндрических сосудов, вдоль общей оси которых была натянута платиновая посеребренная проволочка (рис. 80). Основания обоих цилиндров были герметично закрыты и воздух из цилиндров откачан. В узком внутреннем цилиндре имелась очень узенькая вертикальная щель. При нагревании проволочки током до температуры порядка 1000 °С серебро начинало испаряться и внутренний цилиндр наполнялся атомами серебра. Таким образом, Штерн экспериментировал с одноатомным серебряным газом. Те атомы, которые летели от проволочки по радиусу к щели, вылетали во внешний цилиндр (радиусом ) и оседали на его стенке, образуя узенькую серебряную полоску а — проекцию щели (рис. 80 и 81).

Рис. 80

Рис. 81

Такая картина получилась бы при неподвижном приборе. Но Штерн приводил прибор во вращение с угловой скоростью со вокруг общей оси цилиндров (см. рис. 81). Поэтому атомы серебра оседали не против щели, а смещались на некоторое расстояние. В итоге на поверхности внешнего цилиндра образовывалась не узенькая серебряная полоска, а широкая полоса не одинаковой толщины, показанная в разрезе на рис. 81. Полоса получилась широкой потому, что разные атомы имели различные скорости: более быстрые оседали ближе к началу полосы а, более медленные — ближе к его концу Неодинаковость толщины полосы обусловлена тем, что на разные скорости движения атомов приходится различное число атомов: тем местам полосы, где она тоньше, соответствуют, очевидно, скорости, которыми обладает меньшее число атомов.

Таким образом, каждое место (например, на разрезе полосы соответствует определенной скорости и определенному числу осевших атомов, а вид поперечного разреза полосы (см. рис. 81) характеризует распределение числа атомов по скоростям. В этой связи следует обратить внимание на большое сходство видов максвелловского графика (см. рис. 78) и разреза серебряной полосы (см. рис. 81), что уже является качественным подтверждением правильности закона Максвелла.

Для того чтобы количественно оценить это распределение, надо найти скорости для ряда мест поперечного разреза полосы и число атомов осевших на каждом из этих мест. Число атомов в любом месте полосы Штерн определял по толщине полосы, а соответствующую скорость по расстоянию от начала полосы а до

Формула для подсчета выводится из следующих соображений. За время точки поверхности внешнего цилиндра пройдут путь с линейной скоростью, равной а атомы серебра пролетят путь со скоростью Поэтому

Поделив второе равенство на первое, получим

откуда

Значения со и известны как характеристики прибора Штерна, значения определяются непосредственными измерениями на серебряной полосе.

Наиболее точные эксперименты, выполненные впоследствии с помощью усовершенствованного прибора Штерна, показали, что распределение числа атомов по скоростям, даваемое опытом, находится в соответствии с теоретическим законом Максвелла.

Задача 24. Чему равна энергия теплового движения молекул, содержащихся в кислорода при температуре Какая часть этой энергии приходится на долю поступательного движения молекул и какая часть — на долю их вращательного движения? Решение. Согласно формуле ,

где молярная масса кислорода, число степеней свободы его молекул. Поэтому

Так как у двухатомной молекулы на поступательное движение приходится три степени свободы, а на вращательное две (см. § 43), то искомые части энергии находятся в отношении Следовательно, на долю поступательного движения приходится энергия

а на долю вращательного движения приходится энергия

Задача 25. Для нагревания некоторого количества газа на при постоянном давлении необходимо затратить Если это же количество газа охладить при постоянном объеме, то выделится Какое число степеней свободы имеют молекулы этого газа?

Решение. Энергия, затрачиваемая на нагревание газа при постоянном давлении,

а энергия, выделяемая при охлаждении этого газа при постоянном объеме,

где масса газа, молярная масса газа, молярные теплоемко газа при постоянном давлении и постоянном объеме. Поделив почленно первое равенство на второе, получим

или, учитывая формулы (20) и (20),

Тогда откуда

Задача 26. В момент взрыва водородной бомбы развивается температура, равная примерно Считая, что при такой температуре все молекулы полностью диссоциированы, а все атомы ионизованы, найти среднюю квадратичную скорость и ионов водорода. Решение. Согласно формуле (26),

где молярная масса водорода. Поэтому