Глава VI. Колебания и волны

§ 27. Гармоническое колебание и его характеристики

Колебательным движением (колебанием) называется процесс, при котором система, многократно отклоняясь от своего состояния равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему. Если этот возврат совершается через равные промежутки времени, то колебание называется периодическим. Наглядным примером колебания может служить движение часового маятника.

Колебательные движения исключительно широко распространены в природе и технике. Вибрация натянутой струны, движение поршня дизеля и ножей косилки, суточные и годичные изменения температуры воздуха, морские приливы и отливы, волнение водной поверхности, биение сердца, дыхание, тепловое движение ионов кристаллической решетки твердого тела, переменный ток и его электромагнитное поле, движение электронов в атоме и т. д. — все это в конечном счете колебательные процессы. В последующих разделах курса мы будем неоднократно встречаться с различным родом колебаний.

Рис. 45

Несмотря на большое разнообразие колебательных процессов как по физической природе, так и по степени сложности, все они совершаются по некоторым общим закономерностям и могут быть сведены к совокупности простейших периодических колебаний, называемых гармоническими. В этой главе рассматриваются именно гармонические колебания.

С основными закономерностями и характеристиками гармонического колебания проще всего познакомиться на примере равномерного движения материальной точки по окружности. Пусть материальная точка движется против часовой стрелки по окружности радиусом А с постоянной угловой скоростью со (рис. 45). Тогда ее проекция на вертикальный диаметр будет совершать периодические колебания около положения равновесия О, а величина смещения этой проекции изменяться в пределах от до , также совершая периодические колебания. Величина смещения в любой момент времени определяется очевидным соотношением

Так как период вращения материальной точки число ее оборотов в секунду угловая скорость и угол поворота радиуса связаны между собой соотношениями (см. § 6):

то формулу (1) можно написать еще так:

Соотношения (1) — (26) являются разновидностями уравнения гармонических колебаний. Следовательно, гармоническим называется колебание, при котором изменение колеблющейся величины со временем происходит по закону синуса (или косинуса, если точка проецируется на горизонтальной диаметр). Смещение х положительно, когда направлено вверх от положения равновесия, и отрицательно, когда направлено вниз. Абсолютное значение максимального смещения А называется амплитудой колебания.

При описании колебательных процессов физические величины принято называть иначе, чем мы называли их ранее (см. § 6): называется периодом колебания, -частотой колебания, -круговой, или циклической, частотой и —фазой колебания. Единицы измерения этих величин остаются, конечно, прежними.

Фазой колебания называется аргумент тригонометрической функции в уравнении гармонического колебания. Физический смысл фазы состоит в том, что она определяет смещение в любой момент времени, т. е. определяет состояние колебательной системы. Действительно, например, при смещение при при и т. п. Из уравнения (1) следует, что фазам, различающимся между собой на величину, кратную соответствуют одинаковые смещения. Изменение фазы на соответствует промежутку времени в один период

Уравнения (1) — (26) написаны в предположении, что в начальный момент времени фаза колебания была равна нулю (т. е. секундомер пущен в момент прохождения точки через положение равновесия в положительном направлении). Если же в начальный момент фаза уже имела некоторое значение (т. е. в момент пуска секундомера точка уже была отклонена от положения равновесия), то упомянутые уравнения следует писать в виде

где называется начальной фазой. Поскольку выбор начального момента отсчета времени произволен, будем (при рассмотрении одного единственного колебания), как правило, полагать

Скорость колебания точки определим как производную смещения (2) по времени:

или, учитывая правило приведения тригонометрических функций,

Из уравнения (3), видно, что скорость колебания изменяется со временем. Следовательно, колебательное движение совершается с ускорением а, которое можно определить, продифференцировав выражение скорости (3) по времени:

Учитывая формулу (2), можно выразить ускорение через смещение:

Сравнение формул (2) — (4) приводит к следующим выводам.

1. Как и смещение скорость и ускорение а точки совершают гармонические колебания с одинаковыми круговой частотой и периодом

2. Амплитуды этих колебаний различны: смещения, скорости и ускорения.

3. Фазы колебаний также различны: колебание скорости опережает колебание смещения по фазе на (по времени на ), колебание ускорения опережает колебание смещения по фазе над (по времени на ).

Рис. 46

Для наглядности, изменения со временем (при гармоническом колебании), рассчитанные по уравнениям (2а), (3) и (4), приведены в таблице и представлены на рис. 46.

Как видно на этом рисунке, в момент прохождения колеблющейся точкой положения равновесия ее скорость максимальна а ускорение равно нулю. Когда же точка максимально отклонится от положения равновесия или ее скорость равна нулю, а ускорение становится максимальным или Знак ускорения всегда противоположен знаку щения. Следовательно, ускорение всегда направлено к положению равновесия О колеблющейся точки.

(см. скан)