§ 108. Обобщенный закон Ома. Электрический резонанс. Коэффициент мощности электрической цепи

Рассмотрим практически важный случай электрической цепи: последовательное соединение омического, емкостного и индуктивного сопротивлений. При этом воспользуемся методом векторных диаграмм, с которым мы уже познакомились при изучении гармонических колебаний (см. § 27).

Применительно к электрическим колебаниям (т. е. к переменному току) метод векторных диаграмм заключается в следующем. Переменную синусоидальную электродвижущую силу (напряжение)

можно изобразить как проекцию на ось ординат радиуса-вектора вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью о (рис. 262). Фаза электродвижущей силы в любой момент времени равна углу поворота радиуса-вектора отсчитываемому от оси абсцисс Подобным же образом можно, конечно, изображать и силу переменного синусоидального тока.

Рис. 262

На рис. 263, а представлена векторная диаграмма амплитудных значений тока и напряжения на омическом сопротивлении (сдвиг фаз между равен нулю).

На рис. представлены аналогичные диаграммы для случаев индуктивного сопротивления отстает от на 90° по фазе) и емкостного сопротивления опережает на 90° по фазе).

Пусть в цепи, содержащей последовательно соединенные резистор, конденсатор (емкостью С) и катушку самоиндукции (индуктивностью L), действует переменная синусоидальная э. д. с. частотой Обозначим сопротивление этих элементов цепи соответственно через а напряжения на них — через Очевидно, что по всей цепи будет идти общий ток

Рис. 263

Рис. 264

Рис. 265

Построим векторную диаграмму амплитуды общего тока и амплитуд напряжения на резисторе на конденсаторе и на катушке (рис. 265). Амплитуда внешней электродвижущей силы должна равняться геометрической сумме этих напряжений. Выполняя геометрическое сложение, показанное на рис. 265, получим для величины следующее выражение:

Так как напряжение на участке цепи равно произведению тока на сопротивление этого участка, то

Тогда

откуда

Поделив обе части последнего равенства на получим соответствующее соотношение для эффективных значений тока и э. д. с.:

Каждое из последних соотношений (46) и (47) выражает обобщенный закон Ома для цепи переменного тока. Величина

представляет собой полное сопротивление цепи переменного тока.

На рис. 265 видно, что электродвижущая сила и сила тока сдвинуты друг относительно друга по фазе на угол

Таким образом, величина и направление сдвига фаз зависят от соотношения между величинами сопротивлений. Если электродвижущая сила опережает ток. Если то электродвижущая сила отстает от тока. Если же то колебания э. д. с. и тока происходят в одинаковой фазе (сдвиг фаз ). В последнем случае, т. е. при

в цепи наступает так называемый электрический резонанс (резонанс напряжений); соотношение (50) выражает условие электрического резонанса. Согласно формулам (48) и (47), полное сопротивление цепи будет в данном случае наименьшим и равным только одному омическому сопротивлению поэтому ток в цепи — наибольшим и равным

Итак,

при электрическом резонансе (резонансе напряжений) в цепи, состоящей из последовательно соединенных омического, емкостного и индуктивного сопротивлений, полное сопротивление цепи минимально, а ток максимален и совпадает по фазе с приложенной электродвижущей силой.

Согласно условию (50), электрический резонанс наступает при круговой частоте

или при частоте

эта частота называется резонансной частотой электрической цепи.

Из примеров, приведенных в § 107, следует, что частота Гц является резонансной для цепи, в которой последовательно соединены конденсатор емкостью и катушка самоиндукции индуктивностью в этом случае Ом. Если омическое сопротивление этой цепи Ом, а эффективное значение приложенной , то эффективная сила тока

а эффективные напряжения на конденсаторе и на катушке

При уменьшении омического сопротивления ток в цепи и напряжения на реактивных сопротивлениях будут, очевидно, возрастать. Например, при Ом будет

Таким образом, при резонансе напряжений ток в цепи может достигать очень больших значений, а напряжения на реактивных сопротивлениях могут во много раз превышать приложенную электродвижущую силу.

В § 106 было получено выражение средней мощности, выделяемой переменным током на активном сопротивлении,

Если в цепи имеется реактивное сопротивление, то сдвиг фаз возникающий между током и напряжением, ведет к некоторому снижению мощности, выделяемой в цепи. В этом случае средняя мощность равна

Формулу (54) нетрудно получить путем следующих рассуждений. При наличии сдвига фаз мгновенные значения тока и напряжения выражаются соотношениями:

Поэтому мгновенная мощность будет равна

Среднее значение мощности за период (а следовательно, и за любой промежуток времени равно разности средних значений членов Но первый член есть постоянная величина, не зависящая от времени, а второй — периодическая функция времени; поэтому среднее его

значение за период равно нулю [в течение периода одинаково часто принимает как положительные значения, так и равные им отрицательные значения]. Таким образом, действительно,

Множитель называется коэффициентом мощности электрической цепи. Максимальное значение, равное единице, имеет при отсутствии сдвига фаз между током и напряжением т. е. при электрическом резонансе. В этом случае выделяемая в цепи мощность будет максимальной и равной

Следовательно, для повышения мощности, отдаваемой переменным током в цепь, необходимо добиваться возможно большего значения коэффициента мощности путем включения в цепь таких индуктивных и емкостных нагрузок, которые соответствуют условию электрического резонанса (50).

Увеличение коэффициента мощности электрических сетей («борьба за является одной из важнейших народнохозяйственных задач в области электроэнергетики.