§ 3. О некоторых математических понятиях и символах

С самого начала и на протяжении всего курса мы будем широко пользоваться некоторыми математическими символами и понятиями, не встречавшимися (или редко применявшимися) в школьном курсе физики. Дадим необходимые в этой связи пояснения.

1. О знаках малости, неравенства и приближенного равенства

Для обозначения малых величин (или малых изменений величин) принято ставить перед этими величинами знак (буква греческого алфавита «дельта»). Например, малая масса, — малый промежуток времени и т. д.

Помимо общеизвестных знаков неравенства употребляются знаки (не равно), (гораздо больше) и (гораздо меньше).

Для обозначения приближенного равенства применяется знак . Например, радиус Земли

2. О натуральных логарифмах

Наряду с десятичными логарифмами применяются натуральные логарифмы основанием которых служит иррациональное число Переход от десятичного логарифма к натуральному совершается по формуле

3. Об абсолютном значении и порядке величины

Абсолютным значением величины называется ее значение, взятое с положительным знаком; условно обозначается посредством заключения величины в прямые скобки. Если, например, ускорение , то абсолютное значение ускорения .

Порядком величины называется ближайшее к ее значению число, которое может быть выражено в виде Например, ускорение силы тяжести имеет порядок , длина световой волны см имеет порядок см и т. п.

4. О кратных и дольных единицах измерения

Наряду с основными и производными) единицами измерения физическихвеличин применяются кратные и дольные единицы, образующиеся путем умножения первых на При этом к названиям исходных единиц добавляются следующие приставки:

(см. скан)

Примеры образования кратных и дольных единиц: 1 миллиметр метра, 1 пикофарада фарады, 1 мегаом ом.

5. О символической записи суммы Сумму большого числа однородных величин

принято записывать сокращенно с помощью знака 2 (буква греческого алфавита «сигма») следующим образом:

Стоящие при знаке суммы числа (пределы суммирования) показывают, что надо складывать все величины подряд, начиная с и кончая

6. О способах усреднения величин Существует ряд способов вычисления среднего значения величины по нескольким отдельным ее значениям Мы будем пользоваться следующими тремя из них:

а) средним арифметическим значением х величины называется сумма отдельных значений величины, деленная на их число:

б) средним геометрическим значением х величины называется корень степени из произведения отдельных ее значений:

в) средним квадратичным значением х величины называется квадратный корень из суммы квадратов отдельных значений величины, деленной на их число:

Результаты усреднения, полученные этими способами, обычно мало отличаются друг от друга (но все же

7. Линейные операции над векторами

Все физические величины подразделяются на две группы: на скалярные величины (скаляры) к векторные величины (векторы).

Скалярная величина полностью определяется численным значением. Скалярами являются, например, время, площадь, масса, работа. Действия над скалярами производятся по правилам алгебры и дифференциального и интегрального исчислений.

Рис. 1

Векторная величина полностью определяется численным значением и направлением. Векторами являются, например, скорость, ускорение, сила. В отличие от скаляров векторы обозначаются полужирными буквами или буквами со стрелкой сверху. Например, вектор скорости, вектор силы и т. п. Графически вектор изображают отрезком со стрелкой на конце. Длина отрезка соответствует (в произвольном масштабе) численному значению вектора; стрелка указывает направление вектора. На рис. 1 изображен вектор силы тяжести численное значение которого равно (ньютон).

Векторы, имеющие одинаковые численные значения и направления, равны между собой. Отсюда следует, что при параллельном переносе вектор не изменяется.

Два численно равных, но противоположно направленных вектора называются противоположными векторами. Для них имеет место равенство

Действия над векторами производятся по правилам векторного исчисления. Познакомимся с некоторыми из них.

а) Сложение векторов. Сложение векторов производится по правилу параллелограмма. Чтобы сложить два вектора (рис. 2, а), необходимо путем параллельного переноса совместить их начала и построить на векторах параллелограмм (рис. 2, б). Вектор являющийся диагональю параллелограмма, представляет собой искомую сумму:

Из рис. 2, б следует, что данные векторы можно сложить и другим способом, совмещая начало второго вектора с концом первого. Вектор С, соединяющий начало первого вектора с концом второго, также представляет искомую сумму (рис. 2, в).

Рис. 2

Этот способ, называемый правилом треугольника, особенно удобен при сложении нескольких векторов, например четырех: (рис. 3, а). В этом случае начало второго вектора совмещают с концом первого, начало третьего — с концом второго и т. д. (рис. 3,б). Вектор соединяющий начало первого вектора с концом последнего, является суммой данных векторов:

Рис. 3

Он не зависит от последовательности, в которой производилось сложение векторов, в чем легко убедиться путем соответствующих построений.

б) Вычитание векторов. Вычитание вектора В из вектора А можно заменить сложением А с вектором противоположным В (рис. 4, а):

Рис. 4

Тогда, применяя правило треугольника, получим вектор разности С (рис. 4, б).

в) Умножение и деление вектора на скаляр. При умножении вектора А на скаляр получается вектор, совпадающий по направлению с А и равный по величине Скаляр может иметь любые значения (целые и дробные, положительные и отрицательные). Поэтому данное правило умножения является вместе с тем и правилом деления вектора на скаляр. Примером умножения вектора на скаляр может служить определение перемещения по скорости и времени (при равномерном прямолинейном движении):

Примером деления вектора на скаляр является определение ускорения а по силе действующей на тело, и массе тела:

8. О градиенте физической величины

Рис. 5

Если некоторая физическая величина имеет в каждой точке пространства определенное (иное, чем в других точках) значение, то говорят, что эта величина распределена в пространстве. Пространственно распределенным является, например, атмосферное давление: в различных точках атмосферы его значения различны.

Если пространственно распределенная физическая величина возрастает в некотором направлении то «пространственную быстроту» ее возрастания удобно характеризовать отношением изменения величины к расстоянию на котором это изменение происходит (рис. 5). Ось располагают в направлении максимального возрастания величины расстояние следует брать возможно меньшим. Отношение

называется градиентом физической величины и обозначается так:

Таким образом, градиентом физической величины называется ее изменение, приходящееся на единицу расстояния в направлении наибольшего возрастания. Следовательно, градиент есть вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания физической величины.

Понятие градиента применимо к любой физической величине (скорости, плотности, температуре, давлению и т. д.), если только она имеет пространственное распределение. Размерность градиента равна размерности физической величины, деленной на размерность длины. Например, размерность градиента скорости

размерность градиента температуры

Известно, что средний градиент температуры земной коры (геотермический градиент) направлен к центру Земли и составляет около

Рис. 6

Это означает, что температура земной коры возрастает в среднем на 3° С на каждые глубины.

9. О кривизне и радиусе кривизны кривой

На различных участках кривой линии ее кривизна может быть различной. Для оценки кривизны линий введены понятия кривизны и радиуса кривизны.

Малые участки и кривой линии всегда можно совместить с некоторой окружностью (рис. 6). Радиусы этих окружностей называются радиусами кривизны кривой линии на данных участках. Если вообще участок кривой бесконечно мал то можно говорить о радиусе кривизны кривой в данной точке.

Величина, обратная радиусу кривизны, называется кривизной кривой линии:

Отметим, что у прямой линии