§ 17. Энергия

Энергия является важнейшей физической величиной, характеризующей способность тела или системы тел совершать работу; она измеряется величиной максимальной работы, которую при определенных (заданных) условиях может совершить эта система. Например, катящийся шар, сталкиваясь с некоторым телом, перемещает его, т. е. совершает работу. Следовательно, катящийся шар обладает энергией. Растянутая пружина, сокращаясь после устранения деформирующей силы, совершает работу по перемещению своих частей (витков) или какого-либо другого тела. Следовательно, растянутая пружина обладает энергией. Система, состоящая из земного шара и расположенного на некоторой высоте над ним тела, обладает энергией, так как при устранении связи, удерживающей тело на высоте, оно начнет двигаться (падать) и может совершать работу. Подчеркнем,

что катящийся шар, деформированная пружина и поднятое над Землей тело обладают энергией независимо от того, совершают они в данный момент работу или нет: энергия характеризует состояние системы, способность (возможность) системы к совершению работы при переходе из одного состояния в другое.

Обычно за другое (конечное) состояние системы принимают такое ее состояние, называемое «нормальным», в котором она уже не может совершать работу при данных условиях за счет энергии данного вида. Так, например, для растянутой пружины нормальным состоянием является такое, при котором полностью ликвидирована ее деформация, для приподнятого над Землей тела — такое, при котором оно пришло в соприкосновение с земной поверхностью, и т. п.

Из приведенных примеров видно, что энергия связана либо с движением системы или ее частей — в этом случае она называется кинетической, либо с взаимным расположением взаимодействующих частей системы — в этом случае она называется потенциальной. Потенциальная энергия тесно связана с существованием полей (гравитационных, электрических, магнитных и т. д.).

Изменение энергии измеряется работой, которую может совершить система, переходя из данного состояния в другое. Иными словами, работа совершаемая системой при переходе из одного состояния в другое, равна разности энергий, присущих системе в этих состояниях:

где энергии системы в исходном и конечном состояниях. В соответствии с этим определением получим конкретные выражения энергии для некоторых простейших (механических) систем.

Кинетическая энергия тела. Пусть под действием постоянной тормозящей силы (например, силы трения) тело массой совершив перемещение при прямолинейном движении, изменило свою скорость от до Тогда работа, совершенная телом против силы торможения,

Так как движение тела будет равнозамедленным, то

где а — ускорение, время прохождения телом пути (см. § 5). Подставляя выражения в формулу (5), после простых преобразований получим

Из сопоставления формул (4) и (6) следует, что величина

представляет собой кинетическую энергию тела. Таким образом, работа, совершаемая движущимся телом, равна изменению (убыли) его кинетической энергии. Если в конце рассматриваемого перемещения тело останавливается то совершенная максимальная работа «будет равна величине кинетической энергии тела вначале перемещения.

Пользуясь уже применявшимся нами приемом разбивки трактории тела на малые отрезки, было бы несложно доказать, что формула (6) справедлива и в общем случае криволинейного пути и переменной силы.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела. Определим, например, потенциальную энергию упруго растянутого стержня. Она должна равняться максимальной работе А, совершаемой силами упругости, восстанавливающими первоначальный размер и форму стержня:

Упругая сила равна по величине:

где длина и площадь поперечного сечения недеформированного стержня, его удлинение при деформации, модуль упругости (см. § 10, рис. 14). При вычислении работы А надо иметь в виду, что сила упругости является переменной величиной: она линейно зависит от удлинения изменяясь от нуля (при до Поэтому можно считать, что при перемещении, равном действует средняя сила упругости

Тогда

Следовательно,

где величина сохраняет смысл и размерность коэффициента пропорциональности в законе Гука (см. § 10). Итак, потенциальная энергия упруго растянутого стержня пропорциональна квадрату его удлинения. Отметим, что и при всех других видах деформации

(см. § 10) потенциальная энергия тоже будет пропорциональна квадрату величины деформации (смещения).

Потенциальная энергия тела в гравитационном поле. Определим потенциальную энергию тела массой находящегося в гравитационном поле другого тела массой на расстоянии от него (рис. 25). Для этого рассчитаем работу А перемещения первого тела на пути соответствующем максимальному сближению тел.

Учитывая переменный характер силы тяготения, разобьем путь на достаточно малые отрезки на каждом из которых можно считать силу тяготения постоянной.

Рис. 25

Величина силы тяготения на первом отрезке изменяется от до Положим, что на отрезке действует постоянная сила равная среднему геометрическому (см. § 3) этих сил:

Тогда для работы перемещения тела на отрезке получим, выражение

или

Путем аналогичных рассуждений найдем выражения работы на других отрезках

Складывая эти равенства, получим после несложных преобразований искомую работу А:

Отметим, что формулу (8) было бы проще вывести посредством интегрирования:

где — переменное расстояние между центрами тяготеющих масс. Знак минус перед интегралом поставлен в связи с тем, что для сближающихся масс величина отрицательна, тогда как работа должна быть положительной, поскольку перемещение массы происходит в направлении действия силы.

Из сопоставления формул (4) и (8) следует, что величина

представляет собой потенциальную энергию тяготения. Знак минус обусловлен тем, что по мере самопроизвольного сближения тяготеющих тел их потенциальная энергия должна уменьшаться, переходя в кинетическую. В этой связи уместно отметить, что всякая предоставленная самой себе система стремится перейти в состояние, соответствующее минимуму потенциальной энергии. Из формулы (9) следует, что максимальное значение потенциальной энергии тяготеющие тела будут иметь в том случае, когда они бесконечно удалены друг от друга.

Итак, формулы (8) и (9) показывают, что работа перемещения тела между двумя точками гравитационного поля равна разности потенциальных энергий тела в этих точках:

Работа по перемещению в гравитационном поле единицы массы из рассматриваемой точки на бесконечность называется потенциалом гравитационного поля этой точки. Согласно формуле (8)

или вообще,

где расстояние точки от массы создающей поле.

Из формул (9) и (10) найдем связь между потенциальной энергией тяготения тела массой и потенциалом гравитационного поля:

из которой следует, что гравитационный потенциал точки поля численно равен потенциальной энергии единичной массы, находящейся в этой точке. Поэтому единицей измерения потенциала является

Сопоставляя формулы (8) и (10), получим

где и гравитационные потенциалы двух точек поля. Таким образом, работа по перемещению тела между двумя точками в гравитационном поле равна произведению массы тела на разность потенциалов этих точек, взятому с обратным знаком.

Рис. 26

В гравитационном поле неподвижной массы переместим тело массой Причем совершим это перемещение по нескольким различным траекториям и 3 (рис. 26). Согласно формуле (8) работа, совершенная при каждом из этих перемещений, одинакова. Следовательно, работа по перемещению тела в гравитационном поле не зависит от формы пути, а зависит только от разности гравитационных потенциалов начала и конца пути. Отметим, что силы, работа которых (или против которых) не зависит от формы пути, называются потенциальными, а поле этих сил — потенциальным.

Определим теперь потенциальную энергию тела массой находящегося на небольшой высоте над земной поверхностью. Заменяя в формуле на где радиус Земли, получим

где — масса Земли. Так как то поэтому (пренебрегая величиной в сравнении с единицей) можно считать, что

Тогда

но [см. § 12, формула (17)]. Поэтому

где — есть потенциальная энергия тела, находящегося на уровне земной поверхности.

В задачах на притяжение Землей тел, лежащих на земной поверхности, их потенциальную энергию обычно принимают равной нулю. Тогда из формулы (13) получим выражение

известное из школьного курса физики.