§ 34. Фронт волны. Принцип Гюйгенса-Френеля

До сих пор мы рассматривали движение волн, происходящее только в некотором определенном направлении (вдоль одной линии). Это имеет место, например, в стержнях, воздушных столбах, волноводах и т. п. Вообще же от источника колебаний, находящегося в сплошной среде, волны распространяются во всех направлениях. Поверхность, до которой одновременно доходят волны от данного источника колебаний, называется фронтом волны. Форма волнового фронта зависит от формы источника колебаний и свойств среды. При точечном источнике колебаний волновой фронт в однородной среде имеет форму сферы; лучи, являющиеся радиусами этой сферы, перпендикулярны к

волновому фронту (рис. 63, а). Очевидно, что

где скорость волны, время ее распространения. Волны, образующие сферический фронт, называются сферическими. Сферический волновой фронт является (в изотропной среде) вместе с тем фазовой, или волновой поверхностью, т. е. поверхностью, все точки которой колеблются в одинаковой фазе.

Если фронт волны представляет собой плоскость, то волна называется плоской. В этом случае лучи параллельны между собой (рис.

63, б). Небольшой участок сферического волнового фронта, находящегося на достаточном удалении от источника колебаний, можно практически считать плоским (пренебрегая кривизной фронта).

Рис. 63

В неоднородной среде, где скорость волны неодинакова в различных направлениях, волновой фронт может иметь весьма сложную форму.

Если не учитывать затухания, то интенсивность плоской волны не будет изменяться по мере удаления волнового фронта от источника колебаний, так как площадь фронта остается в этом случае постоянной.

Иначе обстоит дело с интенсивностью сферической волны. Энергия колебания переносимая в единицу времени через всю площадь волнового фронта, остается, согласно закону сохранения энергии, постоянной. Но возрастает по мере удаления фронта от источника колебаний пропорционально квадрату расстояния у, так как Поэтому

т. е. интенсивность сферической волны изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния фронта от источника колебаний. Так как, согласно формуле (26), интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды то т. е. амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию волнового фронта от источника колебаний. Тогда, заменяя в формуле (25) А на получим следующее уравнение сферической волны:

При решении задач о распространении волн зачастую бывает необходимо построить волновой фронт для некоторого момента времени по волновому фронту, заданному для начального момента времени. Это можно сделать с помощью метода, называемого принципом Гюйгенса, сущность которого состоит в следующем.

Пусть волновой фронт, перемещающийся в однородной среде, занимает в данный момент времени положение У, изображенное на рис. 64. Требуется найти его положение через Согласно принципу Гюйгенса, каждая точка среды, до которой дошла волна, сама становится источником вторичных волн. Это значит, что от нее, как из центра, начинает распространяться новая сферическая волна. Чтобы построить вторичные волны, вокруг каждой точки исходного фронта опишем сферы радиусом

где скорость волны. Вторичные волны взаимно гасятся во всех направлениях, кроме направлений исходного фронта (указанных на рис. 64 стрелками). Иными словами, колебания сохраняются только на внешней огибающей вторичных волн. Построив эту огибающую, получим искомое положение 2 волнового фронта.

Принцип Гюйгенса применим и к неоднородной среде. В этом случае значения а следовательно, и неодинаковы в различных направлениях.

Рассмотрим в качестве примера применения принципа Гюйгенса случай падения плоской волны на преграду с отверстием, размеры которого больше длины волны (рис. 65). Когда волновой фронт дойдет до преграды каждая точка отверстия станет источником вторичных волн. Построив эти волны и проведя их огибающую, получим фронт волны, прошедший через отверстие. Он будет плоским только в своей средней части; у границ отверстия происходит загибание волнового фронта (а следовательно, и лучей) за преграду. Это явление называется дифракцией волн.

Рис. 64

Рис. 65

Однако объяснение дифракции волн, даваемое принципом Гюйгенса, является неполным, так как он ничего не говорит об амплитудах волн, распространяющихся в различных направлениях, и, следовательно оставляет открытым вопрос о распределении интенсивности вдоль волнового фронта. Отмеченный недостаток принципа Гюйгенса устранил в 1815 г. французский физик Френель, дополнив этот принцип положением об интерференции вторичных волн.

Согласно Френелю, волну, приходящую в любую точку от первичного источника можно рассматривать как результат интерференции вторичных волн, приходящих в эту точку от множества элементарных вторичных источников некоторого волнового фронта (рис. 66). Тогда интенсивность волны в точке определится путем суммирования всех вторичных волн (с учетом размера вторичных источников, их расстояния до и угла между направлениями и нормали

Рис. 66

Принцип Гюйгенса с дополнением Френеля получил название принципа Гюйгенса-Френеля и оказался весьма плодотворным для решения многих вопросов о распространении волн. С конкретными применениями принципа Гюйгенса — Френеля к электромагнитным (световым) волнам мы встретимся в последней части курса (см. гл. XVII и XVIII).

Задача 17. Уравнение колебания материальной точки массой имеет вид — Найти: а) максимальные значения скорости и ускорения движения точки; б) значение максимальной силы действующей на точку; в) полную энергию колеблющейся точки.

Решение. Сравнивая уравнение колебаний данной точки с уравнением гармонического колебания (2а), видим, что амплитуда колебания точки начальная фаза и круговая частота где — период колебания точки.

а) Из формул (3) и (4) следует, что скорость и ускорение гармонического колебания точки имеют максимальные значения соответственно при

Поэтому

б) Очевидно, что при максимальном значении ускорения будет иметь место и максимальное значение силы, действующей на точку. Поэтому, согласно второму закону Ньютона,

в) Полную энергию колеблющейся точки найдем по формуле

Задача 18. Найти амплитуду В и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями:

Решение. Амплитуды и начальные фазы слагаемых колебаний соответственно равны:

Условия задачи соответствуют случаю сложения колебаний одного направления, имеющих одинаковые круговые частоты и амплитуды, но различные фазы (см. § 28). Поэтому начальная фаза результирующего колебания должна отличаться от начальных фаз слагаемых колебаний на половину разности последних, т. е.

Тогда амплитуда результирующего колебания

Задача 19. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, заданных уравнениями

Определить траекторию движения точки.

Решение. Уравнение второго колебания перепишем в виде Тогда станет очевидным, что условия задачи соответствуют случаю сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний, имеющих одинаковые круговые частоты, различные амплитуды и различающиеся на начальные фазы (см. § 28). Поэтому в соответствии с формулами (8) точка движется по эллипсу, определяемому уравнением

(см. также рис. 49). Полуоси эллипса равны амплитудам слагаемых колебаний, т. е.

Задача 20. Вдоль упругого шнура распространяется поперечная волна со скоростью Период колебаний точек шнура с, амплитуда колебаний Определить: а) длину волны X и б) фазу и

смещение х точки, отстоящей на расстоянии от источника волн в момент времени

Решение, а) По формуле (24) находим длину волны:

б) Фазу и смещение заданной точки определим из уравнения волны (25):

Так как фаза определяется выражением, находящимся под знаком синуса в уравнении волны, то

Тогда

Знак минус показывает, что в заданный момент времени точка шнура отклонялась книзу от положения равновесия (см. рис. 58).