§ 20. Границы применимости классической механики

Рассмотренные нами законы механики получены на основе наблюдений над макроскопическими телами (т. е. телами, состоящими из огромного числа атомов), движущимися с небольшими скоростями (по сравнению со скоростью света). Механика макроскопических, не быстро движущихся тел получила название классической механики; ее законы вполне точны для таких тел. Однако в текущем столетии обнаружился целый ряд явлений, не согласующихся с законами и представлениями классической механики.

Было, например, открыто явление дифракции электронов, совершенно не присущее «классическим частицам» (телам). Здесь электрон проявляет свойства, присущие волне (см. § 126). Таким образом, электрон не является частицей в обычном (классическом) смысле слова.

Поэтому применение законов классической механики к электрону (и вообще ко всем микрочастицам) оказывается не всегда возможным.

В классической механике для движущегося тела всегда можно одновременно и точно (т. е. с точностью, допускаемой измерительными приборами) определить его координату х и скорость v (или импульс mv) и, следовательно, найти его траекторию. Между тем оказалось, что для микрочастиц это можно сделать лишь приближенно. Причем произведение неточностей («неопределенностей») в одновременном определении координаты и скорости не может быть меньше величины

где масса частицы, с — величина, называемая постоянной Планка (см. § 131). Это положение известно как соотношение неопределенностей, или принцип Гейзенберга.

Из соотношения неопределенностей следует, что чем больше точность определения координаты частицы, тем меньше точность одновременного определения ее скорости, и наоборот.

Существенно, что невозможность одновременного точного определения координаты и скорости частицы не есть следствие несовершенства измерительных приборов и методов измерения (не есть обычная погрешность измерения). Это принципиальная невозможность, отражающая объективные свойства микрочастиц, их двойственную корпускулярно-волновую природу (см. § 126, 137).

Так как постоянная Планка весьма мала, то для тел большой массы величина поэтому могут быть одновременно ничтожно малыми. А это значит, что одновременное измерение координаты и скорости макроскопического тела производится практически точно, как и полагает классическая механика.

Соотношение неопределенностей проявляется только для микрочастиц, поскольку ввиду малости их массы величина существенно отличается от нуля и потому не могут одновременно иметь малые значения.

Вообще говоря, соотношение неопределенностей и для микрочастиц проявляется не во всех случаях их движения.

Рассчитаем, например, неопределенность : в координате электрона, движущегося в «луче» электронного осциллографа (см. § 102) со скоростью порядка Пусть скорость электрона определена с достаточно большой точностью — 0,01%, т. е. неопределенность в скорости Тогда, учитывая, что масса

электрона получим из соотношения (17) для неопределенности в координате электрона тоже малую величину:

Следовательно, в данном случае координата и скорость электрона определяются практически точно и его движение можно еще описывать законами классической механики.

Если же рассматривать движение электрона внутри атома, то принцип Гейзенберга даст большую неопределенность в координате или в скорости (см. § 133). Это означает, что электрон в атоме уже нельзя считать обычной «классической частицей».

В начале XX в. было установлено (на опытах с электронами), что вопреки представлениям классической механики масса тела не является постоянной величиной, а зависит от скорости его движения — возрастает с увеличением скорости по закону

где масса тела, покоящегося относительно наблюдателя (масса покоя), масса этого же тела, движущегося со скоростью относительно наблюдателя, скорость распространения света в вакууме.

(см. скан)

Из таблицы, составленной на основании формулы (18), видно, что при не очень больших скоростях движения масса тела почти не изменяется и практически равна массе покоя. При больших же скоростях она заметно возрастает и, например, при скорости уже более чем вдвое превышает массу покоя.

Из формулы (18) следует, что тело с массой покоя, отличной от нуля, не может двигаться со скоростью света: при будет следовательно, для сообщения телу скорости, равной скорости света, необходимо совершение бесконечно большой работы, что невозможно.

При будет тогда с помощью бинома Ньютона формулу (18) можно представить в виде

или, пренебрегая членами выше второго порядка малости,

откуда

где изменение кинетической энергии, изменение массы тела при изменении скорости его движения от до

Соотношение (19) оказывается универсальным: оно точно выполняется в любых системах и процессах, для любых видов энергии и любых значений скорости. Поэтому вообще можно написать

или

откуда

и

Величина внутренняя энергия, присущая телу или системе («энергия покоя»); это может быть, например, ядерная энергия, «скрытая» в печоящемся атоме (см. § 142). Величина полная энергия системы.

Каждое из соотношений выражает универсальный закон взаимосвязи массы и энергии (открытый теоретически Эйнштейном в 1905 г.), согласно которому

изменение массы тела (или системы) сопровождается пропорциональным изменением его энергии.

В свете закона взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии обнаруживается, что масса, которая в классической механике характеризует инертные (см. § 7) и гравитационные (см. § 12) свойства тел, является еще и характеристикой энергосодержания тела. Поскольку вместе с тем масса есть мера количества материи, а энергия — мера движения материи, то закон пропорциональности массы и энергии служит ярким подтверждением фундаментального положения диалектического материализма о неразрывности материи и движения.

Огромное численное значение коэффициента в выражении (20) закона взаимосвязи массы и энергии ведет к тому, что даже очень большие, технически достижимые изменения энергии тела сопровождаются ничтожно малым, практически не обнаружимым изменением его массы: Например, у космической ракеты массой покоя посланной в сторону Луны со второй космической скоростью энергия возрастает на

а масса — всего лишь на

Таким образом, относительное изменение массы ракеты

что, конечно, не может быть обнаружено экспериментальным путем.

Поэтому экспериментальная проверка закона взаимосвязи массы и энергии возможна только на явлениях микромира (ядерных процессах или процессах превращения элементарных частиц), сопровождающихся большими изменениями энергии, сравнимыми по порядку величины с произведением В области микромира взаимосвязь массы и энергии проявляется весьма ощутимо. На законе взаимосвязи массы и энергии основаны ядерная физика и атомная энергетика (см. гл. XX).

В связи с тем что законы классической механики оказались применимыми лишь в области, охватывающей не очень быстро движущиеся макроскопические тела, возникли (в начале текущего столетия) два новых раздела физики: квантовая механика и релятивистская механика (теория относительности). Квантовая механика изучает движение в взаимодействие микрочастиц. Теория относительности изучает движения тел, происходящие со скоростями, сравнимыми со скоростью света.

Законы квантовой и релятивистской механики более универсальны, чем законы классической механики: они применимы к любым телам и любым скоростям движения. Надо, однако, подчеркнуть во избежание недоразумений, что ограниченность области применения классической механики не означает, что основные ее законы не точны по существу и что, например, закон сохранения и превращения энергии теряет силу в областях микромира и больших скоростей. Закон сохранения и превращения энергии справедлив для всех без исключения систем и процессов. Неточными являются лишь выражения (формулы) физических величин, даваемые классической механикой; причем эти неточности сказываются только в областях микромира н больших скоростей движения. Например, если тело движется со скоростью относительно системы отсчета которая сама движется относительно другой системы отсчета со скоростью совпадающей по направлению с то скорость тела относительно системы определится, согласно классической механике, по формуле

а согласно теории относительности — по формуле

где с — скорость света в вакууме.

Формула (21) является приближенной и представляет собой частный случай формулы (22) при небольших значениях скоростей (в сравнении с ). Релятивистская же формула (22) верна для любых значений скоростей. В частности, при сложении двух скоростей, каждая из которых сколь угодно близка к скорости света, релятивистская формула даст результирующую скорость а не как это получается по классической механике.

Таким образом, формула (22) согласуется с основным положением специальной теории относительности в том, что скорость света в вакууме — максимальная из возможных в природе скоростей и движение источника света не изменяет ее. Действительно, если источник света движется со скоростью по направлению или противоположно направлению посылаемого им света, то, полагая в формуле получим

Итак, теория относительности и квантовая механика не отвергают, а уточняют представления и законы классической механики и устанавливают границы ее применимости.

В последующих разделах книги мы еще встретимся с применением некоторых положений релятивистской и квантовой механики.

Задача 10. Животноводческая ферма, имеющая голов крупного и голов мелкого скота, снабжается водой из водонапорной башни высотой Какую работу совершает в сутки насос, подающий воду в башню, если, суточный расход воды составляет на голову крупного скота и на голову мелкого? Коэффициент полезного действия двигателя насоса

Решение. Суточный расход воды Работа, необходимая для подъема этого количества воды (полезная работа), плотность воды, масса воды, ее вес.

Тогда работа, совершаемая насосом,

Задача 11. Трактор за время вспахивает поле площадью при захвате лемехов сопротивлении почвы Определить мощность мотора трактора, если его коэффициент полезного действия

Решение. Работа, совершаемая трактором против силы сопротивления почвы (с учетом коэффициента полезного действия),

где путь, пройденный трактором. Тогда мощность мотора трактора

Задача 12. Баба копра массой падает на сваю массой со скоростью Определить: а) кинетическую энергию копра в момент удара; б) энергию затрачиваемую на углубление сваи в грунт; в) энергию затрачиваемую на деформацию сваи; г) коэффициент полезного действия удара копра о сваю.

Решение, а) Согласно формуле (6а),

б) Энергия, затрачиваемая на углубление сваи в грунт, должна быть равна кинетической энергии, которой обладает система баба копра — свая в момент удара. Поэтому

где скорость системы в момент удара. Эту скорость найдем по закону сохранения количества движения:

где скорость сваи перед ударом. Тогда

в) Кинетическая энергия бабы копра расходуется на углубление сваи в грунт и на деформацию сваи. Поэтому откуда

г) Так как копер предназначен для забивания (углубления в грунт) свай, то