§ 71. Цикл Карно. Второе начало термодинамики

Положение о необратимости процессов в природе (см. § 69), указывающее направление этих процессов, представляет собой одно из общих выражений второго начала термодинамики. Более конкретную формулировку и математическое выражение второго начала можно получить из рассмотрения так называемого цикла Карно, с которым мы познакомимся, введя предварительно понятие о круговом процессе.

Круговым процессом, или циклом, называется процесс, в результате которого система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное состояние. Очевидно, что на графике круговой процесс изобразится замкнутой кривой линией (рис. 138). Работа А у совершаемая при круговом

Рис. 138

процессе, численно равна площади ограниченной этой замкнутой линией. Поясним данное утверждение, полагая для определенности, что системой является некоторая масса газа. Цикл состоит из двух последовательных процессов: расширения и сжатия газа. В соответствии с графическим представлением работы, рассмотренным в § 70 (см. рис. 135), работа А и совершаемая газом при расширении, выразится площадью фигуры эта работа положительна (см. § 69). На тех же основаниях работа совершаемая при сжатии газа, выразится площадью фигуры и будет отрицательной. Тогда работа, совершенная при круговом процессе,

и выразится разностью площадей фигур и т. е. площадью фигуры, ограниченной замкнутой линией Если круговой процесс идет по часовой стрелке , то работа будет положительной (так как если же круговой процесс идет против часовой стрелки отрицательной (так как ).

Рис. 139

Если в результате цикла совершается некоторая работа то система, периодически повторяющая такой цикл, называется машиной.

В 1824 г. французский инженер Сади Карно теоретически рассмотрел работу идеальной тепловой машины, состоящей из одного моля идеального газа (рабочее тело), заключенного в цилиндр под поршнем, нагревателя и холодильника. Эта система периодически совершает обратимые циклы, состоящие из двух изотермических и двух адиабатических процессов (рис. 139). Стенки цилиндра и поршень абсолютно нетеплопроводны, а дно цилиндра абсолютно теплопроводно. Однако с помощью абсолютно нетеплопроводной крышки прикладываемой ко дну цилиндра, можно было сделать весь цилиндр абсолютно нетеплопроводным. Трение и тепловые потери в системе полностью отсутствуют.

Проследим за работой этой идеальной тепловой машины, получившей название цикла Карно. Изменения состояния системы будем изображать на диаграмме, а положения поршня в цилиндре — на схеме (см. рис. 139).

1. Газ находится в сжатом состоянии поршень — в положении 1. Чтобы обеспечить изотермическое расширение газа, приведем дно цилиндра в тепловой контакт с нагревателем находящимся при температуре

2. Когда газ расширится до состояния уберем нагреватель и, закрыв дно крышкой предоставим газу возможность

закончить расширение адиабатически до состояния Совершая работу по расширению, газ охладится; поэтому

3. Чтобы завершить цикл, т. е. вернуть газ в начальное состояние а поршень — в исходное положение 7, необходимо совершить внешнюю работу сжатия газа. Будем сначала сжимать газ изотермически до состояния заменив крышку холодильника X (при температуре Причем состояние 4 надо выбрать заранее, с таким расчетом, чтобы из него по адиабате 4-1 можно было перевести газ в начальное состояние 1.

4. Завершим сжатие газа до начального состояния адиабатически, заменив холодильник крышкой

Цикл закончен и может быть затем многократно повторен. На участке 1 2 газ совершил работу по изотермическому расширению, получив от нагревателя количество теплоты На участке газ совершил работу по адиабатическому расширению за счет своей внутренней энергии. На участке 3-4 внешние силы совершили работу по изотермическому сжатию газа; при этом он отдал холодильнику количество теплоты Наконец, на участке 4 внешние силы совершили работу по адиабатическому сжатию газа, повысив его внутреннюю энергию.

Так как газ вернулся в первоначальное состояние, то изменение его внутренней энергии Тогда, согласно первому началу термодинамики [формула (1)], полученное газом в результате всего цикла количество теплоты должно равняться совершенной им за время цикла работе:

Нетрудно показать, что по абсолютной величине Действительно, оба адиабатических процесса осуществлялись в одном и том же интервале температур Тогда, согласно формуле (13), будут одинаковыми и совершаемые при этих процессах работы. Поэтому формула (14) примет вид

где - суммарная работа, совершаемая за весь цикл и численно равная площади 1234, ограниченной графиком цикла. Так как цикл проводился по часовой стрелке, то эта работа положительна. Итак, в результате цикла газ, получив количество теплоты от нагревателя и передав часть этого количества теплоты холодильнику, совершил внешнюю работу, равную

Зададимся вопросом: может ли рассматриваемая тепловая машина совершать работу только за счет получения количества теплоты от нагревателя, не отдавая части количества теплоты

холодильнику? Иными словами, можно ли теплоту целиком превращать в работу? Очевидно, что при отсутствии холодильника процесс можно было бы замкнуть (т. е. получить цикл) только посредством обратного процесса Площадь такого цикла, а следовательно, и совершаемая работа будут равны нулю. Таким образом, отдача части теплоты холодильнику является необходимым условием совершения работы. Но тогда, согласно формуле (16),

т. е. рассматриваемая тепловая машина не может все полученное количество теплоты целиком переводить в работу. Как показывают опыт и выводы из всей термодинамики, это невозможно не только для данной машины, но и вообще.

Рис. 140

Невозможен механизм, который все получаемое от нагревателя количество теплоты целиком переводил бы в работу; часть этого количества теплоты должна быть отдана холодильнику.

Это утверждение является одной из формулировок второго начала термодинамики, а формулы (16) и (17) — его математическими выражениями. Таким образом, тепловая машина должна работать по схеме, представленной на рис. 140.

Воображаемый механизм, превращающий все количество теплоты в работу, называется вечным двигателем второго рода. Его осуществление дало бы человечеству неисчерпаемый источник энергии, поскольку запасы теплоты на Земле практически неограниченны. За счет одного только количества теплоты, содержащегося в воде морей и океанов можно было бы с помощью вечного двигателя второго рода приводить в движение машины всех фабрик и заводов в течение многих тысячелетий. Причем за первые 1700 лет такой «перекачки» теплоты температура воды в океане понизилась бы в среднем только на одну сотую долю кельвина.

Однако, как мы видели, вечный двигатель второго рода противоречит второму началу термодинамики. Поэтому второе начало можно еще сформулировать так: вечный двигатель второго рода невозможен.

Рассчитаем теперь коэффициент полезного действия идеальной тепловой машины. Он равен отношению полезной работы к совершенной, т. е., с учетом формулы (15),

Принимая во внимание формулу (5), можем написать

Но, согласно формуле (9),

откуда следует, что

Поэтому все логарифмы в формуле (19) оказываются одинаковыми и могут быть сокращены. Тогда формула (19) примет вид

или

откуда следует, что

т. е. коэффициент полезного действия идеальной тепловой машины меньше единицы. Для его повышения необходимо увеличивать разность температур нагревателя и холодильника. Возьмем такие наиболее благоприятные реально возможные условия: (паровой котел высокого давления) и (воздушное охлаждение в зимнее время). В этом случае

Рис. 141

Понятно, что реальные тепловые машины благодаря трению и неизбежным тепловым потерям имеют значительно меньший коэффициент полезного действия (поршневая паровая машина — до 20%, паровая турбина — до 30% и двигатель внутреннего сгорания — до 45%).

Обратный цикл Карно можно использовать в качестве идеальной холодильной машины, работающей по схеме, представленной на рис. 141 . За счет работы внешних сил А газ (рабочее тело) отнимает от холодильника количество теплоты и передает нагревателю количество теплоты