§ 117. Тонкие линзы. Микроскоп

Для изменения направления световых лучей в оптических приборах широко используются линзы. Линзой называется прозрачное (чаще всего стеклянное) тело, ограниченное двумя криволинейными (обычно сферическими) поверхностями или одной криволинейной и одной плоской поверхностью. На рис. 288 изображены поперечные сечения двояковыпуклой (а) и двояковогнутой (б) сферических линз радиусы сфер). Прямая проходящая через центры кривизны поверхностей, образующих линзу, называется главной оптической осью (или просто осью) линзы.

Мы будем рассматривать только тонкие линзы, толщина которых пренебрежимо мала по сравнению с радиусами кривизны линзы (рис. 289). У тонкой линзы имеется точка О, обладающая тем свойством, что проходящие через нее лучи практически не преломляются линзой. Эту

Рис. 287

Рис. 288

точку называют оптическим центром линзы; она лежит на пересечении главной оптической оси со средним сечением линзы. Любая прямая проходящая под углом к главной оптической оси через оптический центр линзы, называется побочной оптической осью. Луч, идущий вдоль оптической оси (главной или побочной), носит название центрального луча.

Линзу можно представить как совокупность множества призм (рис. 290). Тогда становится очевидным, что выпуклая линза отклоняет лучи к оптической оси, а вогнутая — от оптической оси. Поэтому выпуклая линза называется собирающей, а вогнутая — рассеивающей.

Рис. 290

Покажем, что лучи, исходящие из некоторой точки лежащей на оптической оси, под небольшими углами а к этой оси, собираются линзой в одну точку А и расположенную также на оптической оси и называемую изображением точки А (рис. 291).

Построим плоскости, касательные к поверхностям линзы в точках (т. е. в местах падения луча на линзу и выхода его из линзы), и проведем в эти точки радиусы кривизны линзы.

Рис. 291

Тогда луч можно будет рассматривать как луч, преломленный в тонкой призме с преломляющим углом Учитывая малость углов и толщины линзы, можно написать следующие приближенные

равенства:

где высота (над оптической осью) точки падения луча на линзу, высота точки выхода луча из линзы, a и b — соответственно расстояния от источника света и от его изображения до оптического центра линзы. Из треугольников и

Тогда, принимая во внимание формулы (7), получим

Но, согласно формуле (6),

где абсолютный показатель преломления линзы. Поэтому

Последнее соотношение называется формулой линзы. В формулу не входит высота Это означает, что расстояние не зависит от местоположения точки т. е. что все лучи, исходящие из точки А у соберутся после преломления различными частями линзы в одной точке

Рис. 292

Если точка А находится бесконечно далеко от линзы т. е. если лучи падают на линзу параллельно главной оптической оси (рис. 292), то, согласно формуле (8),

Соответствующее этому случаю расстояние называется фокусным расстоянием линзы:

Оно зависит только от показателя преломления и радиусов кривизны линзы. Точки лежащие по обе стороны от линзы на

расстоянии, равном фокусному, называются фокусами линзы (соответственно передним и задним). Таким образом, фокусом линзы называется точка, в которой после преломления собираются все лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси.

Плоскости проходящие через фокусы перпендикулярно главной оптической оси, носят название фокальных плоскостей линзы.

Рис. 293

Можно показать (на чем мы не останавливаемся), что лучи, падающие на линзу параллельно побочной оптической оси, сходятся после преломления в точке лежащей в фокальной плоскости. Очевидно, что эта точка находится на пересечении центрального луча с фокальной плоскостью (рис. 293).

Принимая во внимание формулу (9), можно записать формулу линзы (8) в виде

Величина обратная фокусному расстоянию называется оптической силой линзы:

Оптическая сила измеряется в диоптриях. Диоптрия равна оптической силе линзы с фокусным расстоянием в один метр.

В отличие от собирающей линзы рассеивающая линза имеет мнимые фокусы. В мнимом фокусе сходятся (после преломления) воображаемые продолжения лучей, падающих на рассеивающую линзу параллельно главной оптической оси (рис. 294).

Рис. 294

Формула линзы (10) остается справедливой и для рассеивающей линзы, только в этом случае расстояния следует считать отрицательными:

Оптическая сила рассеивающей линзы отрицательна.

Пользуясь формулой линзы (10), можно определять расстояние от изображения предмета до линзы, если известны фокусное расстояние и расстояние а от предмета до линзы:

Линейный размер изображения определяется по линейному размеру предмета из очевидного соотношения (рис. 295)

Отношение

называется линейным увеличением линзы.

Рис. 295

Изображение предмета, даваемое линзой, можно получить непосредственным геометрическим построением, не прибегая к расчету по формулам (12) и (13). Для этого достаточно провести от каждой из крайних точек предмета по два луча. Один луч должен быть параллельным оптической оси (проходит через фокус после преломления в линзе), другой — центральным (не преломляется линзой). Пересечение двух таких лучей дает изображение крайней точки предмета. Примеры построения изображений приведены на рис. 296, 297.

Если предмет помещен между фокусом и двойным фокусом линзы, то изображение получается действительным, увеличенным, перевернутым и находящимся за двойным фокусом линзы (рис. 296).

Рис. 296

Рис. 297

Если предмет помещен между фокусом и линзой, то изображение оказывается мнимым, увеличенным и прямым (рис. 297). Этот случай соответствует применению линзы в качестве лупы (предмет помещается вблизи переднего фокуса, глаз — в заднем фокусе).

Как было показано при выводе формулы линзы, лучи, исходящие под малыми углами к оптической оси из некоторой точки лежащей на этой оси, собираются линзой в одну точку Однако при большом диаметре линзы часть лучей падает на нее под большими углами к оптической оси (рис. 298). Такие лучи собираются уже в другой точке В результате изображение точки А приобретает вид размытого пятна. Этот недостаток линзы называется

Рис. 298

сферической аберрацией. У выпуклой линзы лучи, падающие на ее края, собираются ближе, чем лучи, падающие на ее центральную часть вогнутой линзы имеет место обратное явление. Благодаря этому можно создать оптическую систему из соответствующим образом подобранных собирающей и рассеивающей линз, у которой сферическая аберрация почти полностью отсутствует. В некоторых случаях сферическую аберрацию ослабляют путем диафрагмирования краевых лучей.

В связи с дисперсией фокусное расстояние линзы для лучей различного цвета оказывается различным (рис. 299). Поэтому при использовании белого или иного немонохроматического света изображение предмета, даваемое линзой, имеет окрашенные края. Этот недостаток линзы называется хроматической аберрацией.

Рис. 299

Рис. 300

Собирающая линза приближает к оптической оси сильнее фиолетовые лучи, чем красные (см. рис. 299; фокус для красного луча, фокус для фиолетового луча), а рассеивающая линза, наоборот, приближает к оптической оси сильнее красные лучи (рис. 300). Благодаря этому можно создать оптическую систему, не имеющую хроматической аберрации. Такая система {ахроматическая линза) состоит из склеенных между собой собирающей и рассеивающей линз, обладающих различной дисперсией.

В 1941 г. Д. Д. Максутовым была создана безаберрационная оптическая система (менисковый телеобъектив), состоящая из вогнутого сферического зеркала и выпукло-вогнутой сферической линзы (мениска). Зеркало и мениск в отдельности обладают большими аберрациями (сферическими), имеющими противоположные знаки; в менисковом телеобъективе эти аберрации полностью компенсируются.

Менисковые оптические системы с большим успехом применяются в телескопах (менисковый телескоп Максутова), фотоаппаратах и других оптических приборах.

Для значительного увеличения малых объектов применяется микроскоп — оптическая система, состоящая в простейшем случае из короткофокусной собирающей линзы (объектива) с фокусным расстоянием и длиннофокусной собирающей линзы (окуляра) с фокусным расстоянием (рис. 301). Предмет А В помещается на расстоянии, немного большем от объектива. Действительное, увеличенное и перевернутое изображение оказывается на расстоянии, немного меньшем от окуляра; оно рассматривается в окуляр,

как в лупу. В результате получается мнимое, увеличенное и перевернутое (относительно предмета) изображение находящееся от окуляра на расстоянии называемом расстоянием ясного зрения (для нормального глаза см). Расстояние между «внутренними» фокусами объектива и окуляра называется оптической длиной тубуса микроскопа (обычно см).

Рис. 301

На рисунке сильно преувеличены расстояния от предмета до фокуса объектива и от изображения до фокуса окуляра. Кроме того, не соблюдено соотношение расстояний в действительности гораздо меньше (по этим причинам изображение предмета оказалось расположенным между объективом и окуляром, хотя обычно оно располагается по одну сторону с предметом АВ от объектива). Учитывая это, получим на основании формулы (14) следующие приближенные выражения увеличений объектива и окуляра

Общее увеличение микроскопа равно произведению увеличений объектива и окуляра:

Практически увеличение микроскопа не может превышать 2500—3000. Это связано с ограниченной разрешающей способностью микроскопа, обусловленной дифракционными явлениями (см. § 123).