§ 83. Конденсатор. Энергия электрического поля

Как мы уже видели (см. § 80), проводник, обладающий большой электроемкостью, должен иметь очень большие размеры. Например, уединенный металлический шар емкостью в имеет радиус Можно, однако, создать такую систему, состоящую из проводников, разделенных диэлектриками, которая будет обладать большой емкостью при малых размерах. Такого рода электрическая система называется конденсатором. Простейший конденсатор состоит из двух параллельных металлических пластин — обкладок, разделенных тонким слоем диэлектрика (рис. 167). Обкладкам этого конденсатора, называемого плоским, сообщаются разноименные равные по величине заряды.

Рис. 167

В соответствии с формулой (31) емкость С плоского конденсатора равна отношению заряда одной из его обкладок к разности потенциалов этих обкладок:

Введем обозначения: расстояние между обкладками конденсатора, площадь каждой обкладки, — поверхностная плотность заряда обкладки, диэлектрическая проницаемость среды, находящейся между обкладками. При малом значении можно считать поле внутри конденсатора однородным. Тогда, учитывая, что напряженность поля равна по величине градиенту потенциала, можно написать

или, учитывая формулу (18) и наличие диэлектрика,

Подставляя последнее выражение в формулу (51) и учитывая, что получим формулу емкости плоского конденсатора:

Из этой формулы следует, что емкость плоского конденсатора тем больше, чем больше площадь обкладок и диэлектрическая проницаемость среды, разделяющей их, и чем меньше расстояние между обкладками.

Рис. 168

Практически конденсатор обычно изготовляют из двух тонких, узких и длинных лент металлической фольги, проложенных очень тонкой лентой пропарафинированной бумаги. Получающаяся трехслойная полоса свертывается плотным рулоном. Такой конденсатор, имея размеры спичечного коробка, обладает емкостью (металлический шар такой же емкости имел бы радиус В конденсаторах переменной емкости применяются обычно газообразные и жидкие диэлектрики.

В связи с тем, что вне конденсатора электрическое поле отсутствует (см. § 77), заряженный конденсатор не может индуцировать заряды на расположенных по соседству с ним проводниках. Поэтому соседние проводники не влияют на емкость конденсатора. Конденсаторы находят широкое применение в электротехнике.

Несколько конденсаторов можно объединить в батарею. Определим емкость конденсаторной батареи при параллельном и последовательном соединениях конденсаторов.

У всех параллельно соединенных конденсаторов разность потенциалов на обкладках одинакова и равна так как обкладки соединены проводником (рис. 168, а). Сумма одноименных зарядов на обкладках Емкость такой батареи равна

где емкость первого конденсатора, емкость второго конденсатора и

Поэтому

У последовательно соединенных конденсаторов (рис. 168, б) заряды всех обкладок одинаковы по величине и равны а разность потенциалов

Емкость такой батареи

откуда

где величина, обратная емкости первого конденсатора, величина, обратная емкости второго конденсатора, и т. д. Поэтому

Небезынтересно отметить, что орган для накапливания электрической энергии, имеющийся в некоторых рыб (электрический скат, электрический угорь и др.), представляет собой батарею конденсаторов значительной емкости, находящуюся под довольно высоким напряжением и развивающую при разряде большую мощность (у электрического угря напряжение достигает 1000 В, а разрядная мощность Эта батарея состоит из тонких чередующихся слоев проводящей (нервной) и непроводящей (соединительной) ткани. Электроэнергия вырабатывается нервной системой спинного мозга.

С помощью плоского конденсатора американский физик Милликен в 1909 г. впервые осуществил экспериментальное определение величины заряда электрод на Идея опыта Милликена состояла в следующем. Между горизонтально расположенными пластинами плоского конденсатора приложена разность

Рис. 169

потенциалов измеряемая вольтметром V (рис. 169). Расстояние между пластинами нижняя пластина заряжена отрицательно. В пространство между пластинами вбрызгиваются посредством пульверизатора мельчайшие капельки жидкого масла, а воздух в этом пространстве ионизируется ультрафиолетовыми лучами. Образующиеся ионы могут присоединяться («прилипать») к масляным капелькам. В результате многие из капелек оказываются электрически заряженными.

На отрицательно заряженные капельки действуют две силы: направленная вниз сила тяжести

и направленная вверх электрическая сила

где масса капельки, ее заряд, напряженность электрического поля, ускорение силы тяжести. Наблюдая за одной из таких капелек с помощью микроскопа и изменяя посредством потенциометра разность потенциалов, можно подобрать такое значение , при котором капелька неподвижно повиснет в воздухе. Это означает, что по величине

откуда

Так как очень мелкие капельки практически шарообразны (см. § 59), то массу наблюдаемой капельки можно определить из очевидного соотношения

где диаметр капельки, измеряемый с помощью микроскопа плотность масла. Подставив в формулу (56) выражение массы (57) и выражение напряженности поля (52), получим соотношение

позволяющее рассчитывать величину заряда

На основе многочисленных измерений Милликен установил, что заряд оказывается всегда или равным, или кратным некоторому элементарному заряду т. е. заряду электрона.

Современные измерения заряда электрона усовершенствованным методом Милликена и другими методами показали, что

Как всякий заряженный проводник, конденсатор (см. рис. 167) обладает электрической энергией, которая в соответствии с формулой (34) равна

или, учитывая формулы (52) и (53)

Но объем, заключенный между обкладками конденсатора, поэтому

Поскольку все электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора, можно считать, что формула (59) выражает энергию электрического поля конденсатора. При этом оказывается, что энергия электрического поля пропорциональна квадрату его напряженности и объему охваченного им пространства. Этот вывод свидетельствует в пользу представления о материальности (реальности) поля.

Энергия электрического поля, приходящаяся на единицу занимаемого им объема, выражается соотношением

Величина называется плотностью энергии электрического поля.

Задача 41. Две длинные параллельные одноименно заряженные нити расположены на расстоянии друг от друга. Линейная плотность заряда на нитях одинакова и равна Найти величину и направление напряженности результирующего электрического поля в точке, находящейся на расстоянии от каждой нити.

Решение. Изобразим поперечное сечение нитей через заданную точку С, напряженности электрических полей этих нитей и напряженность результирующего электрического поля (рис. 170).

Рис. 170

Так как равносторонний и заряды нитей одинаковы, то а является диагональю ромба которого Поскольку диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам, можем написать

Но, согласно формуле (14), где (для вакуума). Тогда получим

Напряженность перпендикулярна расстоянию между нитями и лежит в плоскости

Задача 42. Шарик массой и зарядом перемещается из точки потенциал которой , в точку В с потенциалом Чему была равна скорость шарика в точке А, если в точке В она стала равной см/с?

Решение. Перемещаясь в электрическом поле от большего потенциала к меньшему (т. е. по полю), положительно заряженный шарик ускоряется силами поля и его кинетическая энергия возрастает. По закону сохранения и

превращения энергии (см. § 17), приращение кинетической энергии шарика должно равняться работе совершаемой силами поля:

Но где и кинетические энергии шарика соответственно в точках . Вместе с тем, согласно формуле (22), Поэтому

откуда

Задача 43. Между пластинами заряженного плоского конденсатора вставлена слюдяная пластинка Какое она испытывает давление при напряженности электрического поля конденсатора

Решение. Давление на слюдяную пластинку обусловлено силой взаимного притяжения разноименно заряженных пластин конденсатора и равно

где площадь каждой пластины. Следовательно, необходимо определить силу притяжения двух параллельных разноименно заряженных пластин, приходящуюся на единицу площади. Для этого одну из пластин конденсатора будем рассматривать как создающую электрическое поле напряженность Ей а Другую — как заряд находящийся в этом поле. Тогда, согласно формуле (5), сила действия первой пластины на вторую откуда сила притяжения пластин, приходящаяся на единицу площади (т. е. давление будет равна

где поверхностная плотность заряда второй пластины. Но, согласно формуле (17), где поверхностная плотность заряда первой пластины.

Учитывая, что для конденсатора можем написать

Так как в соответствии с формулой (18) то следовательно,

Задача 44. Шар, погруженный в масло имеет потенциал В и поверхностную плотность заряда Найти: а) радиус заряд емкость энергию шара.

Решение, а) Согласно формуле Но заряд шара (где — площадь шара), а согласно формуле (32), емкость шара Поэтому

откуда

г) Согласно формуле (34),