§ 29. Динамика колебательного движения. Маятник

В § 27 мы выяснили, что при колебательном движении ускорение переменно. Следовательно, это движение обусловлено действием переменной силы. Пусть под действием переменной силы материальная точка массой совершает гармоническое колебание с ускорением а. Тогда, учитывая формулу (5), можно написать

где

Таким образом, сила, вызывающая гармоническое колебание, пропорциональна смещению и направлена против смещения. В связи с этим можно дать следующее определение гармонического колебания (кроме данного в § 27): гармоническим называется колебание,

вызываемое силой, пропорциональной смещению и направленной против смещения. Эта сила стремится возвратить точку в положение равновесия, поэтому ее называют возвращающей силой. Возвращающей силой может быть, например, сила упругости, так как она тоже пропорциональна смещению и противоположна ему по знаку (см. § 10). Возвращающие силы могут иметь и иную, не упругую природу. В этих случаях они называются квазиупругими силами.

Если известны масса материальной точки и коэффициент то из формулы (10) можно определить круговую частоту и период колебания:

и

Рассмотрим теперь механическую колебательную систему, называемую физическим маятником; это твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести относительно горизонтальной оси. Обычно физический маятник представляет собой стержень с утяжеленным концом; другой его конец подвижно связан с горизонтальной осью В, перпендикулярной к стержню (рис. 51). Отклоненный от положения равновесия на угол а, маятник под действием силы тяжести возвращается к этому положению, переходит его по инерции, отклоняется в противоположную сторону, затем опять переходит положение равновесия и т. д. Если трение в подвесе мало, то маятник будет колебаться очень долго. Центр тяжести маятника С будет описывать дугу окружности Условимся считать угол а положительным при отклонении маятника вправо от положения равновесия и отрицательным — при отклонении влево.

Рис. 51

Возвращающая сила

где масса маятника. Знак минус обусловлен тем, что направления силы и угла отклонения всегда противоположны. При малых отклонениях рад а а. Тогда

где дуговое смещение центра тяжести маятника от положения равновесия, длина маятника (расстояние от точки подвеса до центра тяжести). Таким образом, возвращающая сила оказывается пропорциональной смещению и противоположной ему по знаку (т. е. является квазиупругой силой). Следовательно, колебания маятника гармонические.

В соответствии с основным законом динамики вращения (см. § 21) момент возвращающей силы выразится соотношением:

где - момент инерции маятника относительно оси подвеса, - угловое ускорение. Тогда

Так как (см. § 6), то, учитывая формулу (5), можем написать

где (о — круговая частота колебаний маятника. Сопоставляя формулы (13) и (14), получим

откуда найдем выражения круговой частоты и периода колебаний физического маятника:

и

Рис. 52

На практике часто оказывается возможным рассматривать физический маятник как математический. Математическим маятником называется материальная точка, колеблющаяся на невесомой и недеформируемой нити (рис. 52). Согласно определению момента инерции материальной точки.(см. § 21), момент инерции математического маятника

где масса материальной точки, длина нити. Подставляя это значение в формулу (16), получим окончательное выражение периода колебаний математического маятника:

Из формулы (17) следует, что

при малых отклонениях а период колебания математического маятника пропорционален квадратному корню из длины маятника, обратно пропорционален квадратному корню из ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний и массы маятника.

При гармоническом колебании происходит периодическое взаимное превращение кинетической энергии колеблющегося тела и потенциальной энергии обусловленной действием квазиупругой силы. Из этих энергий слагается полная энергия колебательной системы

Учитывая формулу (3), напишем

где скорость движения тела, его масса.

Потенциальная энергия, обусловленная квазиупругой силой, выражается так же, как потенциальная энергия упруго деформированного тела [см. § 17, формула (7)], т. е. должна быть пропорциональна квадрату смещения. Тогда, учитывая формулу (2), находим

Но поэтому

Сопоставляя формулы (18) — (20), получим

Таким образом, полная энергия гармонического колебания постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату круговой частоты колебания.