§ 70. Работа, совершаемая при изменении объема газа. Адиабатические процессы

Представим себе газ, расширяющийся в цилиндре под поршнем от объема при давлении до объема при давлении

На графике этот процесс изобразится кривой линией 1—2 (рис. 135). Рассмотрим маленький интервал расширения для которого давление можно считать приблизительно постоянным и равным Как было показано в § 44 [см. рис. 77 и формулу работа, совершаемая газом при малом расширении, равна произведению На графике видно, что эта работа численно равна площади узкой полоски шириной Разбивая полное изменение объема от до на малых интервалов: получим, очевидно, что

полная работа А, совершаемая при изменении объема газа, численно равна сумме площадей всех полосок, т. е. равна площадих ограниченной кривой 12, ординатами и осью абсцисс:

Если теперь перейдем от конечных малых интервалов к бесконечно малым интервалам то работа на каждом из этих интервалов будет бесконечно малой и равной

Интегрируя последнее равенство в пределах от до получим выражение полной работы, совершаемой при изменении объема газа:

Рис. 135

Пользуясь последним выражением, рассчитаем работу, совершаемую при изотермическим изменении объема одного моля идеального газа. Согласно закону Клапейрона — Менделеева,

Подставляя это выражение в формулу (4) и учитывая, что при изотермическом процессе получим

или окончательно

Еще проще рассчитывается работа изобарического изменения объема газа:

Кроме уже знакомых нам изобарического и изотермического процессов изменения объема газа существует так называемый адиабатический процесс. Адиабатическими называются процессы,

происходящие при отсутствии теплообмена между системой и окружающей средой. В этом случае и формула (2) первого начала термодинамики принимает вид

Знак минус показывает, что при адиабатическом расширении внутренняя энергия системы уменьшается: система совершает работу за счет своей внутренней энергии. В случае адиабатического сжатия внутренняя энергия системы увеличивается за счет работы, совершаемой внешними силами. Поэтому будет положительно, но зато примет отрицательное значение (см. § 69) и равенство (6) остается справедливым.

Рассмотрим адиабатический процесс в системе, состоящей из одного моля идеального газа, помещенного в цилиндр, стенки и поршень которого абсолютно нетеплопрсводны. Как известно [см. § 44, формула (20)], внутренняя энергия моля идеального газа равна

где молярная теплоемкость при постоянном объеме, температура. Так как постоянная величина, то, дифференцируя равенство (7), получим

Подставляя в формулу (6) выражения из формулы (3) и из формулы (8), получим

Используя закон Клапейрона — Менделеева, заменим на

Из последнего равенства следует, что адиабатическое изменение объема газа сопровождается изменением его температуры. Интегрируя это равенство в пределах от до и соответственно от до получим

откуда

или

Потенцируя последнее равенство и учитывая [см. § 44, формулы (23) и что

получим

и

или окончательно

Формула (11) выражает закон Пуассона, описывающий адиабатические процессы в идеальном газе. Из закона Пуассона следует, что при адиабатическом расширении газа его температура понижается, а при сжатии — повышается.

Для осуществления адиабатических процессов необходима абсолютная теплоизоляция системы от окружающей среды. Наоборот, для осуществления изотермических процессов необходимо обеспечить абсолютную теплопроводность между системой и средой. Однако в природе нет ни абсолютных теплоизоляторов, ни абсолютных теплопроводников. Поэтому реальные процессы изменения объема газа могут быть только близкими к адиабатическим (если теплообмен между системой и средой незначителен) или к изотермическим (если теплообмен между системой и средой хороший).

Для практического осуществления процессов, близких к адиабатическим, возможны два пути: 1) очень быстрое изменение объема газа и 2) изменение объема очень большой массы газа. В обоих случаях не успевает произойти значительного теплообмена между системой (газом) и окружающей средой, что равносильно наличию хорошей теплоизоляции между ними.

Примером адиабатического процесса, осуществляемого первым путем, может служить быстрое накачивание велокамеры насосом. Значительное количество теплоты, выделяющееся при многократном частом сжатии воздуха, не успевает переходить в окружающую среду, в результате чего насос, как известно, заметно нагревается.

Адиабатическими можно считать такие процессы, как расширение и сжатие горючей смеси в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания. Особенно отчетливо выражен адиабатический характер процесса сжатия в дизеле. Дизель не имеет зажигания: адиабатическое нагревание смеси при сжатии приводит к ее самовоспламенению.

Что касается адиабатических процессов в больших массах газа, то они весьма распространены в природе. Если, например, большой участок вспаханного поля а граничит с водным бассейном и лесным массивом с, то в ясный летний день полевой участок нагреется солнцем сильнее соседних участков (рис. 136). Расположенная над этим участком воздушная масса А также нагреется сильнее соседних масс сделавшись более легкой, начнет подниматься (конвекция).

Рис. 136

Так как давление в атмосфере убывает с высотой, то по мере подъема воздушная масса будет расширяться и, следовательно, адиабатически охлаждаться. Когда ее температура понизится до точки росы, водяной пар, находящийся в воздушной массе, начнет конденсироваться на ядрах конденсации. Образуются кучевые облака О, типичные для полуденного времени жаркого дня и потому называемые также «облаками хорошей погоды».

Возвратимся к закону Пуассона и придадим формуле (11) несколько иной вид, выразив температуру через давление. Так как, согласно уравнению Клапейрона — Менделеева,

то, подставляя это выражение температуры в формулу (11), получим

(поскольку ). Формула (12) представляет собой

закон Пуассона, связывающий изменения объема и давления газа при адиабатическом процессе.

Пользуясь законами Пуассона (12) и Бойля — Мариотта представим на графике адиабатический и изотермический процессы (рис. 137). Оказывается, что адиабата 1 идет круче изотермы Это объясняется тем, что при изотермическом расширении давление газа уменьшается только за счет увеличения объема, тогда как при адиабатическом расширении оно уменьшается и за счет увеличения объема, и за счет понижения температуры.

В заключение выразим работу А совершаемую газом при адиабатическом процессе, в результате которого температура газа изменяется от до Объединяя формулы (6) и (8), получим для элементарной работы

Рис. 137

Интегрируя последнее равенство, найдем

или окончательно

Следовательно, работа совершаемая газом при адиабатическом процессе, пропорциональна изменению температуры газа.