§ 85. Ток в металлических проводниках. Сопротивление. Законы Ома. Работа и мощность тока

Как уже отмечалось (см. § 74), ток в металлических проводниках представляет собой упорядоченное движение свободных электронов (электронная проводимость). Это представление было окончательно подтверждено опытами Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси (1912 г.) и Стюарта и Толмена (1916 г.). Суть опытов состояла в следующем. Катушка изолированной проволоки приводилась в быстрое вращение вокруг оси, проходящей через центры проволочных витков. При резком затормаживании катушки в ней появляется электрический ток. Количественные измерения показали, что этот ток представляет собой инерционное движение частиц, имеющих массу и заряд электрона. Ток в катушке оказывается весьма кратковременным, так как движущиеся по инерции электроны, сталкиваясь с ионами кристаллической решетки металла, быстро теряют свою скорость (упорядоченного движения). Таким образом, металлический проводник оказывает току определенное сопротивление. Для того чтобы преодолеть это сопротивление и получить постоянный электрический ток, необходимо поддерживать внутри проводника постоянное электрическое поле, т. е. необходимо поддерживать постоянную разность потенциалов (напряжение) на концах проводника. Очевидное, что сила тока должна зависеть по крайней мере от двух факторов: от напряжения, приложенного к проводнику, и от сопротивления проводника.

Еще в 1826 г. немецкий физик Ом опытным путем установил, что сила тока в проводнике пропорциональна напряжению между концами этого проводника:

где коэффициент пропорциональности, называемый электропроводностью, или проводимостью, проводника. Величина

обратная проводимости, называется электрическим сопротивлением проводника. Вводя в формулу (3) сопротивление получим

Соотношение (4) выражает закон Ома для участка цепи (не содержащего источника тока):

сила тока в проводнике пропорциональна приложенному напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению проводника.

Согласно формуле (4), за единицу измерения сопротивления следует принять сопротивление такого проводника, в котором при напряжении в 1 В устанавливается ток силой в 1 А. Эта единица названа омом (Ом):

Размерность сопротивления

Поскольку сопротивление, оказываемое току металлическим проводником, обусловлено столкновением свободных электронов с ионами металла, можно предполагать, что это сопротивление должно зависеть от формы, размеров и вещества проводника. Согласно экспериментальным исследованиям Ома, сопротивление проводника прямо пропорционально его длине I и обратно пропорционально цлощади поперечного сечения

где коэффициент пропорциональности характеризующий материал, из которого изготовлен проводник, называется удельным сопротивлением вещества проводника. Из формулы (5) следует соотношение

полагая в нем получим Следовательно, удельное сопротивление вещества равно выраженному в омах сопротивлению

куба с ребром из данного вещества при токе, параллельном одному из ребер куба. Размерность

Согласно формуле (6), единицей удельного сопротивления является 1 ом-метр удельное сопротивление такого вещества, куб из которого с ребром имеет сопротивление 1 Ом.

На практике удельное сопротивление зачастую измеряют во внесистемных единицах, не имеющих специального названия: (последняя единица называется иногда омосантиметром). Очевидно, что

Сопротивление и удельное сопротивление проводников зависят от внешних условий, особенно от температуры. С повышением температуры усиливается хаотическое движение ионов металлической решетки, затрудняя тем самым упорядоченное движение электронов. Поэтому сопротивление металлов увеличивается с повышением температуры. Опыт показывает, что в первом приближении сопротивление всех металлов связано с температурой линейной зависимостью:

где сопротивление проводника при температура, а — температурный коэффициент сопротивления. Для большинства металлов (при не очень низкой температуре)

На зависимости сопротивления от температуры основано устройство электротермометров сопротивления: по величине сопротивления проводника рассчитывается температура, соответствующая этому сопротивлению.

При очень низких температурах, меньших 8 К, сопротивление некоторых металлов (алюминия, цинка, свинца и др.) скачкообразно уменьшается до нуля: металл становится абсолютным проводником. Это явление называется сверхпроводимостью. Ток, однажды возбужденный в замкнутом сверхпроводнике, не встречает сопротивления и потому существует («циркулирует») очень долгое время (несколько суток!). Явление сверхпроводимости было открыто Камерлинг-Оннесом еще в 1911 г. Оно может быть объяснено только на основе квантовой теории.

Введем в формулу (4) выражение сопротивления

где - удельная проводимость вещества проводника. Учитывая, что градиент потенциала (напряжения) напряженность электрического поля в проводнике, плотность тока (ток через единицу площади поперечного сечения проводника), получим

Это соотношение, связывающее плотность тока в любой точке внутри проводника с напряженностью электрического поля в данной точке, называется законом Ома в дифференциальной форме.

Определим теперь работу, совершаемую постоянным током в проводнике, имеющем сопротивление и находящемся под напряжением Так как ток представляет собой перемещение заряда под действием электрического поля, то работу тока можно определить по известному соотношению (22), полученному в § 78:

Учитывая формулу (1) и закон Ома (4), можно написать для работы тока еще следующие выражения:

где время, за которое рассчитывается работа. Поделив обе части каждого из этих равенств на время получим соответствующие выражения мощности постоянного тока;

Если сила тока измеряется в амперах, напряжение — в вольтах, сопротивление — в омах и время — в секундах, то работа тока выражается в джоулях, а мощность — в ваттах.

Помимо системных единиц работы (см. § 16) в электротехнике широко применяются такие внесистемные единицы работы тока, как ватт-час, гектоватт-час и киловатт-час; соответствует работе тока мощностью в в течение

Отметим, между прочим, что при вспашке одного гектара земли электротрактор совершает работу приблизительно в

Опыт показывает, что ток всегда вызывает некоторое нагревание проводника. Нагревание обусловлено тем, что кинетическая энергия движущихся по проводнику электронов (т. е. энергия тока) переходит в теплоту при каждом столкновении электрона с ионом металлической решетки проводника. Если падение напряжения в проводнике вызвано одним только сопротивлением проводника, то вся работа тока идет на нагревание проводника (и окружающей среды).

В этом случае количество теплоты выделяющееся в проводнике, определяется равенствами:

Данные соотношения выражают закон Джоуля — Ленца. Впервые этот закон был установлен опытным путем Джоулем и независимо от него Ленцем

На тепловом действии тока основан целый ряд электрических приборов и установок: тепловые электроизмерительные приборы, лампы накаливания, электропечи, электросварочная аппаратура, установки для обогрева почвы в парниках, бытовые электронагревательные приборы и т. п.

Рис. 172

Отметим, что в цепи, состоящей из нескольких электронагревательных приборов, соединенных последовательно, сила тока во всех приборах одинакова. Поэтому в соответствии с формулой (11) наибольшее количество теплоты выделится в приборе с наибольшим сопротивлением. При параллельном соединении электронагревательных приборов одинаковым будет напряжение на всех приборах. В этом случае, согласно формуле (11), наибольшее количество теплоты выделится в приборе с наименьшим сопротивлением.

В заключение найдем зависимость между электродвижущей силой 8 источника тока и силой тока в замкнутой электрической цепи (рис. 172). Сопротивление проводника, соединяющего полюсы источника тока, принято называть внешним, а сопротивление самого источника тока — внутренним сопротивлением. Согласно формуле (2),

где напряжение на внешнем сопротивлении, А — работа перемещения заряда внутри источника тока, т. е. работа тока на внутреннем сопротивлении Тогда, согласно формуле (9), Подставляя это выражение работы в формулу (12) и учитывая, что можем написать

откуда

Так как, согласно закону Ома (4), произведения и представляют собой падения напряжения на внешнем и на внутреннем участке цепи, то соотношению (13) можно дать следующее толкование: в замкнутой

электрической цепи электродвижущая сила источника тока равна сумме падений напряжения на всех участках цепи.

Приведя соотношение (13) к виду

получим выражение закона Ома для замкнутой электрической цепи:

сила тока пропорциональна электродвижущей силе и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи

Понятно, что соотношение (13) также является выражением этого закона Ома.

Если в цепь источника тока с электродвижущей силой и внутренним сопротивлением последовательно включить несколько проводников сопротивлениями то, согласно соотношению (13), сила тока в такой цепи будет равна

Сумма представляет собой полное сопротивление цепи. Таким образом, полное сопротивление цепи, состоящей из нескольких последовательно соединенных проводников, равно сумме сопротивлений отдельных проводников.