§ 41. Основное уравнение кинетической теории идеального газа

С точки зрения молекулярно-кинетической теории находящийся в сосуде газ представляет собой совокупность множества хаотически движущихся молекул. В процессе этого движения молекулы газа ударяют о стенки сосуда. При каждом ударе молекула действует настенку с некоторой, сравнительно небольшой силой, нормальной (перпендикулярной) к поверхности стенки. Ввиду крайней многочисленности молекул стенки сосуда испытывают как бы непрерывное действие некоторой, уже сравнительно большой, нормально направленной силы.

Рассчитанная на единицу площади стенки, эта сила, очевидно, представит гобой давление газа. Таким образом, давление газа обусловлено тепловым движением его молекул и проявляется благодаря ударам молекул о стенки сосуда.

Сила удара молекул зависит от скорости их движения, а следовательно, и от кинетической энергии поступательного движения молекул. Поэтому давление газа должно являться функцией средней кинетической энергии поступательного движения его молекул

Основное уравнение кинетической теории идеального газа как раз и устанавливает зависимость между давлением газа и средней кинетической энергией поступательного движения его молекул, т. е. устанавливает конкретный вид функции Основное уравнение было выведено (в современной форме) немецким физиком Клаузиусом в 50-х годах XIX в.

Прежде чем приступить к выводу этого уравнения, сделаем несколько упрощающих предположений относительно самого газа. Будем считать, что молекулы газа находятся в среднем настолько далеко друг

от друга, что их размерами можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними, т. е. рассматривать молекулы как материальные точки. В таком случае можно пренебречь также и силами взаимодействия (сцепления и отталкивания) между молекулами. Исключение составляют моменты сближения молекул, соответствующие столкновениям между ними. При этом будем считать, что молекулы сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда, в котором заключен газ, как абсолютно упругие шарики, изменяя только направление, но не величину скорости. Наконец, ввиду большого среднего расстояния между молекулами можно пренебречь числом взаимостолкновений молекул по сравнению с числом их ударов о стенки сосуда. Таким образом, наши упрощающие предположения о газе можно кратко сформулировать следующим образом:

1. Молекулы — упругие шарики пренебрежимо малого размера (материальные точки).

Рис. 74

2. Силы сцепления между молекулами пренебрежимо малы.

3. Силы отталкивания между молекулами проявляются только в моменты взаимостолкновений последних.

4. Число взаимостолкновений между молекулами пренебрежимо мало по сравнению с числом их ударов о стенки сосуда.

Газ, удовлетворяющий этим условиям, называется идеальным.

Таким образом, идеальным газом называется такой воображаемый газ, молекулы которого представляют собой упругие материальные точки, не связанные друг с другом межмолекулярными силами сцепления.

Здесь уместно поставить вопрос: не увели ли нас эти упрощающие предположения слишком далеко от действительности? Иными словами не будет ли беспредметным изучение идеального газа? Оказывается, что реальный газ в условиях, близких к нормальным, а также при низких давлениях и при высоких температурах близок по своим свойствам к идеальному газу. Таким образом, рассмотренные (см. §§ 39, 40) экспериментальные газовые законы справедливы, по существу, для идеального газа.

Выведем основное уравнение для случая, когда газ находится в сосуде кубической формы. (Это делается только ради упрощения расчета. Вообще же основное уравнение можно вывести для газа, находящегося в сосуде любой формы и даже при отсутствии всякого сосуда.)

Пусть в кубическом сосуде с ребром а находится идеальный газ, состоящий из молекул; масса каждой молекулы Ввиду полной хаотичности движения молекул результат их действия на стенки сосуда будет таким же, как в случае, если бы 1/3 всех молекул двигалась прямолинейно между передней и задней стенками сосуда, 1/3 между правой и левой и 1/3 между верхней и нижней (рис. 74). Поэтому допустим, что число молекул, движущихся в каждом из трех взаимно

перпендикулярных (и перпендикулярных к соответствующим стенкам) направлений, равно

Проследим мысленно за одной из молекул, летящей со скоростью в направлении правой стенки сосуда (см. рис. 74). Долетев до стенки, молекула ударит в нее, отскочит назад, полетит к левой стенке, ударит в нее и т. д. Обозначим силу удара молекулы о стенку через а продолжительность времени удара — через Тогда импульс силы, сообщенный молекулой стенке при ударе, равен

Согласно закону изменения количества движения (см. § 8), импульс силы равен изменению количества дижения:

Знак минус показывает, что скорость при ударе изменяет направление на противоположное.

Молекула действует на правую стенку с силой кратковременно, только в моменты ударов; остальную и притом ббльшую часть времени между ударами она не действует на эту стенку. Поэтому средняя сила действия молекулы на правую стенку за одну секунду значительно меньше фактической силы Очевидно, что импульс средней силы равен сумме импульсов всех сил действующих на стенку в течение одной секунды:

где число ударов молекулы в правую стенку за одну секунду. Число равно перемещению молекулы за 1 с, деленному на перемещение , совершаемое ею между двумя последовательными ударами в правую стенку (см. рис. 74). Так как перемещение молекулы за одну секунду численно равно скорости то Тогда средняя сила

Учитывая, что на правую стенку сосуда действуют и все другие молекулы газа, найдем полную с которой газ действует на правую стенку:

где скорости молекул.

Разделим и умножим правую часть равенства на

Нетрудно установить, что выражение представляет собой квадрат средней квадратичной скорости молекул (см. § 3), которую мы обозначим через и. Тогда

Разделим обе части последнего равенства на и заменим на

Но площадь правой стенки сосуда, а объем сосуда. Тогда

Очевидно, что давление газа на правую стенку, число молекул в единице объема газа. Поэтому

Разделив и умножив правую часть этого равенства на 2, получим

где средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы. Следовательно,

Очевидно, что совершенно такие же выражения (14) и (15) получаются и для давления газа на каждую из остальных стенок сосуда. Следовательно, формулы (14) и (15) дают искомое [формула (13)] выражение давления газа. Они представляют собой разновидности основного уравнения кинетической теории идеального газа (уравнения Клаузиуса). Основное уравнение показывает, что

давление газа прямо пропорционально средней кинетической энергии поступательного движения молекул, содержащихся в единице объема газа.

Подчеркнем, что вывод этого уравнения выполнен посредством статистического метода (см. § 38): рассматривая макроскопическую систему (газ) как совокупность огромного числа беспорядочно движущихся молекул, мы выразили макроскопическую характеристику системы — давление газа — через усредненное значение характеристики микропроцесса — среднюю квадратичную скорость или среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа.

Основное уравнение получено нами теоретическим путем. Но правильность теоретических выводов всегда следует проверять на опыте. Проведем практическую проверку основного уравнения следующим образом. Если основное уравнение правильно отражает действительность, то из него должны вытекать в качестве следствий экспериментальные газовые законы (см. § 39). Поэтому попробуем вывести из основного уравнения кинетической теории идеального газа, например, закон Бойля — Мариотта.

Подставляя в основное уравнение значение получим

откуда

Для данной массы газ при постоянной температуре скорости молекул газа также остаются постоянными (интенсивность теплового движения молекул не изменяется), поэтому Тогда правая, а следовательно, и левая части формулы (16) должны быть постоянны, т. е.

Итак, для данной массы газа при постоянной температуре давление газа обратно пропорционально объему. Следовательно, мы вывели закон Бойля — Мариотта, подтвердив тем самым справедливость основного уравнения кинетической теории идеального газа.

Задача 21. Давление воздуха внутри плотно закупоренной бутылки при температуре равно Па. При нагревании бутылки пробка вылетела. До какой температуры нагрели бутыль, если пробка выдерживает давление до ?

Решение. Поскольку нагревание воздуха в бутыли есть изохорический процесс, применим к нему закон Гей-Люссака (6)

где начальная и конечная абсолютные температуры воздуха в бутыли. Тогда

Задача 22. Кислород массой находится при температуре и давлении Па. После расширения вследствие нагревания при постоянном давлении кислород занял объем Определить: а) объем газа до расширения; б) температуру газа после расширения; в) плотности газа до и после расширения.

Решение, а) К исходному состоянию кислорода применим уравнение Клапейрона — Менделеева (11):

где — абсолютная температура кислорода до нагревания; молярная масса кислорода, моль) — универсальная газовая постоянная. Тогда

б) Поскольку кислород нагревался изобарически, применим закон Гей-Люссака (5):

где - абсолютная температура кислорода после нагревания. Тогда

в) По вытекающей из уравнения Клапейрона — Менделеева формуле (12),

Поэтому

Задача 23. Найти число молекул бодорода в если давление Па, а средняя квадратичная скорость молекул

Решение. Согласно основному уравнению кинетической теории (14),

где масса молекулы водорода, связанная с молярной массой водорода и постоянной Авогадро очевидным соотношением: Поэтому