§ 77. Теорема Остроградского-Гаусса и ее приложения

Определим поток напряженности поля электрических зарядов через некоторую замкнутую поверхность, окружающую эти заряды (рис. 152). Причем будем считать поток отрицательным, если он направлен внутрь поверхности; в противном случае будем считать его положительным.

Рассмотрим сначала случай сферической поверхности радиусом окружающей один заряд находящийся в ее центре (рис. 153). Согласно формуле (6), напряженность поля на всей сфере одинакова и равна

Силовые линиицаправлены по радиусам, т.е. перпендикулярно поверхности сферы. Это дает возможность применить для расчета потока напряженности М формулу (7):

где площадь сферической поверхности.

Окружим теперь сферу произвольной замкнутой поверхностью. Как видно на рис. 153, каждая силовая линия, пронизывающая сферу, пронижет и эту поверхность. Следовательно, формула (10) справедлива не только для сферы, но и для любой замкнутой поверхности.

Рис. 152

Рис. 153

Теперь вернемся к общему случаю произвольной поверхности, окружающей зарядов (см. рис. 152). Очевидно, что поток напряженности через эту поверхность равен сумме потоков, создаваемых каждым из зарядов:

или окончательно

Таким образом,

поток напряженности, пронизывающий любую замкнутую поверхность, окружающую электрические заряды, пропорционален алгебраической сумме окруженных зарядов.

Это положение называется теоремой Остроградского — Гаусса.

Теорема Остроградского-Гаусса представляет значительный практический интерес: с ее помощью можно очень просто определять напряженность полей, создаваемых заряженными телами различной формы. Рассмотрим несколько примеров.

1. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити. Прежде всего выясним, каков вид поля этой нити. Мысленно разобьем заряженную нить на бесконечно большое число точечных зарядов рис. 154, а). Из некоторой точки А опустим на нить перпендикуляр Очевидно, что точечные заряды симметричные относительно создадут в А напряженность направленную перпендикулярно нити. Так как вся нить состоит из симметричных (относительно пар точечных зарядов, то результирующая напряженность поля в точке А будет направлена вдоль линии Иначе говоря, силовая линия, содержащая точку есть прямая, исходящая из нити и перпендикулярная ей.

Рис. 154

Рис. 155

Проведя аналогичные рассуждения относительно других точек пространства, окружающего нить, придем к выводу, что электрическое поле равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити изображается радиальными силовыми линиями, перпендикулярными нити (рис. 154, б). Такой же вид будет иметь и поле конечной нити; искажения появятся только в окрестностях ее концов.

Определим теперь величину напряженности пфля нити в некоторой точке А на расстоянии от нити (рис. 155). Пусть линейная плотность заряда нити (т. е. заряд, приходящийся на единицу длины) равен Окружим часть длины нити воображаемым цилиндром» ось которого совпадает с нитью, а боковая поверхность

содержит точку А. Согласно теореме Остроградского — Гаусса, поток напряженности через пбверхность этого цилиндра равен

где заряд части нити, окруженной цилиндром. С другой стороны, согласно формуле (7),

где площадь боковой поверхности цилиндра. Приравнивая друг к другу правые части соотношений (12) и (13), получим

Следовательно, напряженность поля нити обратно пропорциональна первой степени расстояния.

Рис. 156

С помощью формулы (14) можно рассчитывать напряженность поля заряженного провода, тонкого стержня и т. п.

2. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости. Проводя рассуждения, подобные тем, которые имели место при выяснении вида поля нити, нетрудно убедиться, что силовые линии поля бесконечной заряженной плоскости перпендикулярны этой плоскости (рис. 156). Определим величину напряженности поля плоскости в некоторой точке А. Пусть поверхностная плотность заряда плоскости (т. е. заряд, приходящийся на единицу площади) равна Построим воображаемый цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости, а правое основание содержит точку А. Плоскость делит цилиндр пополам.

Согласно теореме Остроградского — Гаусса, поток напряженности через поверхность этого цилиндра

где заряд части плоскости, окруженный цилиндром,

S - площадь основания цилиндра. Весь поток проходит только через основания цилиндра, так как силовые линии параллельны боковой поверхности цилиндра. На обоих основаниях напряженность поля одинакова, так как точки симметричны относительно плоскости. Тогда, согласно формуле (7),

где площадь оснований цилиндра. Приравнивая друг к другу правые части соотношений (15) и (16), получим

Таким образом, напряженность поля бесконечной заряженной плоскости пропорциональна поверхностной плотности заряда и не зависит от расстояния до плоскости. Следовательно, поле плоскости является однородным.

Рис. 157

3. Напряженность поля между двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями. Пусть поверхностные плотности заряда плоскостей равны и . На рис. 157 дан вертикальный разрез плоскостей; поле положительно заряженной плоскости изображена сплошными силовыми линиями, поле отрицательно заряженной плоскости — прерывистыми. Так как по величине поверхностные плотности заряда плоскостей одинаковы, то, согласно формуле (17), напряженности поля создаваемого каждой из плоскостей, одинаковы:

Как видно на рис. 157, поля между плоскостями складываются (силовые линии направлены в одну сторону). Поэтому напряженность поля между плоскостями или

Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (силовые линии направлены навстречу друг другу). Поэтому здесь напряженность поля

Таким образом, поле между двумя бесконечными разноименно заряженными параллельными плоскостями однородно, а слева и справа от плоскостей оно отсутствует. Такой же вид имеет поле конечных параллельных плоскостей; искажение появляется только вблизи их границ.

С помощью формулы (18) можно рассчитывать напряженность поля внутри плоского конденсатора (см. § 82).