§ 23. Закон сохранения момента количества движения. Кинетическая энергия вращающегося тела

Сравним попарно между собой следующие законы (формулы) механики поступательного движения и механики вращательного движения: второй закон Ньютона [формула (2), § 7] — с основным законом динамики вращения (4), закон изменения количества движения [формула (4), § 8] — с законом изменения момента количества движения (5), выражение линейной скорости [формула (1), § 4] - с выражением угловой скорости [формула (10), § 6]. Бросается в глаза большое сходство в формулировках сравниваемых законов и в структуре сравниваемых формул. Каждой физической величине, характеризующей поступательное движение, соответствует определенная физическая величина, характеризующая вращательное движение. Например, линейной скорости аналогична угловая скорость, силе — момент силы, массе — момент инерции и т. п. Эти аналогичные физические величины выписаны для наглядности в таблицу.

(см. скан)

Обнаруженное сходство с законами поступательного движения имеет место вообще для всех законов вращательного движения. Пользуясь этим, напишем по аналогии (с помощью таблицы) закон вращательного движения, аналогичный закону сохранения количества движения [формула (6), § 9]:

где моменты инерции и угловые скорости тел, составляющих изолированную систему.

Формула (13) выражает закон сохранения момента количества движения:

В изолированной системе сумма моментов количества движения всех тел — величина постоянная.

Этот закон, как и закон сохранения количества движения, обнаруживается во многих явлениях природы и техники.

Для изолированной системы, состоящей из одного тела, закон сохранения (13) запишется в виде

Из формулы (14) следует, что изменение момента инерции тела должно сопровождаться изменением угловой скорости вращения тела: увеличение (уменьшение) J вызывает соответствующее уменьшение (увеличение) о). Это следствие рассматриваемого закона обычно демонстрируют с помощью вращающейся скамьи («скамья Жуковского»). Человек с расставленными в стороны руками вращается, стоя на скамье Жуковского (рис. 33). Затем он быстро опускает руки. При этом его момент инерции уменьшается, а угловая скорость вращения увеличивается. На законе сохранения момента количества движения основаны известный акробатический прием «сальто-мортале», балетный прием «пируэт» и т. п. Все свободные гироскопы действуют на основе этого закона: вращающаяся с большой скоростью масса сохраняет вектор момета количества движения, т. е. сохраняет неизменной ось своего вращения. Этим объясняется устойчивость положения земной оси, продольной оси летящего артиллерийского снаряда, ружейной пули, вертикальная устойчивость движущегося велосипеда и т. п.

Рис. 33

Пользуясь ранее приведенной таблицей, напишем выражение кинетической энергии вращающегося тела по аналогии с выражением кинетической энергии поступательно движущегося тела (см. § 17):

где момент инерции, — угловая скорость вращения тела.

Для того чтобы еще раз убедиться в правомерности применения «метода аналогий» к законам вращательного движения, получим формулу (15) путем вывода. Кинетическая энергия одной частицы вращающегося тела (рис. 30) массой движущаяся со скоростью по окружности радиусом равна

где момент инерции частицы, угловая скорость вращения тела. Тогда, суммируя энергии всех частиц, составляющих тело» получим выражение кинетической энергии вращающегося тела:

За счет кинетической энергии вращения тело может совершать работу. Очевидно, что эта работа должна равняться изменению

(убыли) кинетической энергии вращения:

где и — начальная и конечная угловые скорости вращения. В технике для обеспечения равномерного хода машин (тракторов, кораблей, прокатных станов и т. п.) широко используется кинетическая энергия махового колеса: при внезапном увеличении нагрузки машина не останавливается, а совершает работу за счет запаса кинетической энергии вращения маховика.

Если тело одновременно участвует в поступательном и вращательном движениях, то его кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного движения, и вращения:

Это положение надо учитывать при решении многих практических задач.

Определим, например, кинетическую энергию обруча радиусом и массой катящегося со скоростью

Кинетическая энергия поступательного движения обруча

Для определения найдем угловую скорость вращения обруча и его момент инерции:

Тогда

и

Таким образом, для катящегося обруча пост и оказываются одинаковыми. Для тел другой формы соотношение этих энергий будет иным.

Задача 13. Колесо, вращаясь при торможении равнозамедленно, уменьшило в течение времени мин частоту своего вращения с об/мин до об/мин. Момент инерции колеса Определить: а) угловое ускорение колеса б) тормозящий момент в) работу торможения А.

Решение, а) Угловое ускорение колеса определим как отношение изменения его угловой скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло:

где и — угловые скорости вращения колеса в начале и в конце промежутка времени (напомним, что наименования «оборот» и «радиан» безразмерны)

б) По основному закону динамики вращения (4), тормозящий момент силы

в) При торможении колеса кинетическая энергия его вращения расходуется на совершение работы против тормозящих сил. Поэтому, согласно формуле (16),

Задача 14. На сплошной цилиндрический вал радиусом намотан шнур, к концу которого привязан груз массой (рис. 34). Найти момент инерции вала и его массу если груз, разматывая шнур, опускается с ускорением

Рис. 34

Решение. Согласно основному закону динамики вращения

где - вращающий момент силы натяжения нити, угловое ускорение вала.

По определению момента силы,

Так как натяжение нити и ускорение груза обусловлены его весом то та, откуда

Тогда и

Момент инерции сплошного цилиндрического вала, согласно формуле (10), равен

откуда