§ 104. Взаимная индукция и самоиндукция

Взаимная индукция и самоиндукция являются частными случаями электромагнитной индукции.

Взаимной индукцией называется возбуждение тока в контуре при изменении тока в другом (соседнем) контуре.

Рис. 249

Предположим, что в контуре 1 идет ток (рис. 249). В магнитном поле этого тока находится соседний контур 2. Магнитный поток связанный с контуром 2, пропорционален магнитному потоку, связанному с контуром В свою очередь магнитный поток, связанный с контуром 1, пропорционален силе тока в этом контуре; поэтому можно написать

где коэффициент пропорциональности называется коэффициентом взаимной индукции, или взаимной индуктивностью обоих контуров. Само собой разумеется, что если бы ток проходил по второму контуру, то магнитный поток связанный с первым контуром, зависел от силы тока во втором контуре и выражался соотношением, аналогичным (3), т. е.

Предположим теперь, что за время ток в контуре 1 изменяется на величину Тогда, согласно формуле (3), магнитный поток, связанный с контуром 2, изменится на величину

в результате чего в этом контуре появится э. д. с. взаимной индукции, равная (по закону Фарадея)

Формула (4) показывает, что электродвижущая сила взаимной индукции, возникающая в контуре, пропорциональна скорости изменения тока в соседнем контуре и зависит от взаимной индуктивности этих контуров.

Для определения взаимной индуктивности и единиц ее измерения перепишем формулу (3) в виде

Очевидно, что взаимная индуктивность двух контуров равна магнитному потоку, связанному с одним из контуров, когда в другом контуре идет ток, равный единице. Единицей измерения взаимной индуктивности является генри :

Размерность взаимной индуктивности (и единицы ее измерения — генри) равна

В § 95 было сказано, что размерность магнитной постоянной равная совпадает с размерностью отношения генри/метр и потому единица измерения называется генри на метр. Теперь можно убедиться в справедливости этого утверждения:

Взаимная индуктивность зависит от формы, размеров и взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости среды, но не зависит от силы тока в контуре.

Рис. 250

Получим выражение взаимной индуктивности двух однослойных проволочных катушек, намотанных на общий железный сердечник (рис. 250). Пусть катушка 2, имеющая витков, плотно намотана поверх катушки 7, имеющей витков (обмотка второй катушки изображена прерывистой линией). Катушки имеют общую длину и почти одинаковую площадь поперечного сечения магнитная проницаемость среды равна Ток идущий в первой катушке, создает магнитное поле, которое пронизывает как первую, так и вторую катушку. Поэтому каждый виток второй катушки связан с магнитным потоком

а вся вторая катушка связана с магнитным потоком

где - напряженность магнитного поля, создаваемого первой катушкой (соленоидом). Тогда

откуда, согласно формуле (5),

Этой же формулой можно пользоваться для приближенного вычисления взаимной индуктивности двух многослойных катушек, если толщина слоев мала по сравнению с диаметром катушек.

Если за время ток в первой катушке изменяется на величину то, как следует из формул (4) и (6), во второй катушке возникает электродвижущая сила взаимной индукции

Рассмотренный случай взаимной индукции двух катушек практически весьма важен. На нем, например, основано действие индукционной катушки (бобины), используемой для зажигания горючей смеси в двигателях внутреннего сгорания, а также действие трансформатора, широко применяемого в электрорадиотехнике для изменения силы и напряжения переменного тока.

Рис. 251

Трансформатор был изобретен в 1876 г. . Яблочковым. Принципиальная схема трансформатора показана на рис. 251. Первичная 1 и вторичная 2 катушки (обмотки), имеющие соответственно витков, надеты на замкнутый железный сердечник. Магнитное поле сердечника изображено линиями магнитной индукции (замкнутые прерывистые линии).

Если по какой-либо причине магнитный поток в сердечнике изменяется на величину за время то в соответствии с законом Фарадея в обмотках индуцируются электродвижущие силы:

Предположим теперь, что указанное изменение магнитного потока было вызвано подключением к первичной обмотке внешней переменной равной Тогда во второй обмотке появится э. д. с. взаимной индукции, равная Отношение этих э. д. с. равно

Величина называемая коэффициентом трансформации, показывает, во сколько раз э. д. с. во вторичной обмотке больше (или меньше) э. д. с. в первичной обмотке.

Согласно закону сохранения энергии, мощности тока в обеих обмотках должны быть одинаковыми. Поэтому можно написать

или, учитывая формулу (8),

где переменные токи соответственно в первичной и вторичной обмотках. Следовательно, токи в обмотках обратно пропорциональны числам витков этих обмоток.

Таким образом, применяя трансформатор с соответствующим коэффициентом трансформации, можно в любом наперед заданном отношении повышать или понижать переменную электродвижущую силу и соответственно понижать или повышать ток. Повышающий трансформатор применяется, например, при передаче электроэнергии на большое расстояние (для снижения потерь на джоулево тепло в линии передачи, пропорциональных квадрату силы тока). Понижающий трансформатор используется, например, при электросварке (поскольку для нее требуется большой ток при низком напряжении).

Отметим, что при выводе формулы (10) не учитывались потери энергии в самом трансформаторе, хотя в действительности они, конечно, имеют место (нагревание обмотки, токи Фуко в сердечнике, утечка магнитного потока, перемагничивание сердечника). Однако эти потери весьма незначительны: коэффициент полезного действия современных трансформаторов достигает 98%. Поэтому формула (10) вполне пригодна для практических расчетов.

Контур, в котором изменяется ток, индуцирует ток не только в других, соседних, контурах, но и в себе самом: это явление называется самоиндукцией.

Магнитный поток связанный с контуром, пропорционален току в контуре Поэтому можно написать

где множитель называется коэффициентом самоиндукции, или индуктивностью контура.

Предположим теперь, что за время ток в контуре изменяется на величину Тогда, согласно формуле (11), магнитный поток, связанный с контуром, изменится на величину

в результате чего в этом контуре появится электродвижущая сила самоиндукции

пропорциональная скорости изменения тока и зависящая от индуктивности контура. Знак минус показывает, что э. д. с. самоиндукции (а следовательно, и ток самоиндукции) всегда препятствует изменению основного (внешнего) тока. Если основной ток увеличивается то и ток самоиндукции направлен навстречу основному току. Если же основной ток уменьшается то и ток самоиндукции направлен одинаково с основным током.

Наглядным примером явления самоиндукции служат так называемые экстратоки замыкания и размыкания, возникающие при включении и выключении тока в контуре, обладающем значительной индуктивностью. При включении тока возникает экстраток замыкания, направленный противоположно включенному току и потому задерживающий нарастание этого тока; если в контуре имеется электрическая лампочка, то она разгорается не сразу, а с заметным запаздыванием (тем большим, чем больше индуктивность контура). В момент выключения тока возникает экстраток размыкания, направленный одинаково с выключаемым током и потому усиливающий этот ток (задерживающий его спадение). Вследствие этого на размыкаемом участке цепи (ключе, рубильнике и т. п.) образуется искра.

При быстром выключении тока в цепи, содержащей электромагнит с большой индуктивностью, экстраток размыкания может оказаться столь большим, что вызовет перегрев обмотки и даже обгорание ее изоляции. Поэтому выключение электромагнитов производят постепенно, уменьшая основной ток с помощью реостата.

Из формулы (11) следует, что

т. е. индуктивность контура равна связанному с ним магнитному потоку, если в контуре идет ток, равный единице. Очевидно, что индуктивность измеряется в тех же единицах, что и взаимная индуктивность Индуктивность зависит от формы и размеров контура и от магнитной проницаемости среды.

Получим выражение индуктивности соленоида с железным сердечником (электромагнита). Для этого достаточно положить в формуле так как в данном случае соленоид играет роль и первичной и вторичной катушек. Тогда

где число витков соленоида, длина соленоида, площадь его поперечного сечения. По этой же формуле можно рассчитывать и индуктивность тороида (кругового соленоида).