§ 19. О космических скоростях

Как известно, для запуска искусственных космических тел — спутников, планет и звезд — им необходимо сообщать определенные (довольно большие) начальные скорости, называемые космическими. Так, для запуска искусственного спутника Земли (вблизи Земли) ему должна быть сообщена скорость в горизонтальном направлении не менее (круговая, или первая, космическая скорость). Для запуска искусственной планеты ей необходимо сообщить начальную скорость удаления от Земли не менее (параболическая, или вторая, космическая скорость). Для запуска искусственной звезды в пределы Галактики она должна получить начальную скорость удаления от Земли не менее (третья космическая скорость), а для запуска искусственной звезды за пределы Галактики — (четвертая космическая скорость). Впервые в мире космические скорости (с и были достигнуты в СССР при запуске искусственного спутника (4 октября 1957 г.) и искусственной планеты (2 января 1959 г.).

Рис. 28

На основании рассмотренных ранее законов механики мы можем вычислить указанные значения космических скоростей.

Первая космическая скорость. Для того чтобы тело двигалось вблизи Земли по круговой орбите 1 (рис. 28), т. е. стало искусственным спутником, необходимо, чтобы действующая на него центростремительная сила равнялась силе тяготения:

где масса тела, касательная к орбите скорость его движения, радиус орбиты, масса Земли, у — гравитационная постоянная (см. § 12 и 13). При небольших высотах тела над Землей (порядка нескольких сотен километров) можно считать где радиус Земли. Тогда

Но [формула (17), § 12]. Поэтому

что соответствует первой космической скорости.

При скорости, большей тело будет двигаться по эллиптической орбите 2, а при скорости, равной (вторая космическая), начнет двигаться по параболической орбите 3 и уйдет из сферы земного притяжения.

Вторая космическая скорость. Для того чтобы тело вышло из сферы земного притяжения и стало обращаться вокруг Солнца, т. е. превратилось в искусственную планету, необходимо сообщить ему такую кинетическую энергию, которая равнялась бы работе перемещения тела с земной поверхности на бесконечность (практически — за пределы заметного влияния земного тяготения). Тогда, полагая в формуле (8) § и учитывая, что работа внешних сил отрицательна (см. § 18), получим

где начальная скорость отлета тела с Земли. Таким образом, искомая кинетическая энергия равна по величине потенциальной энергии тела, находящегося на земной поверхности. Отметим, что направление скорости может быть каким угодно: тело станет искусственной планетой при любом направлении скорости

Рис. 29

Из формулы (15) найдем

Умножая и делая правую часть на и учитывая, что получим

что соответствует второй космической скорости.

Третья космическая скорость. Для того чтобы тело вышло из сферы притяжения Солнца и удалилось в Галактику, превратившись в искусственную звезду, необходимо сообщить ему кинетическую энергию, равную работе перемещения тела с земной орбиты на бесконечность. Очевидно, что эта работа равна потенциальной энергии тела, находящегося в поле солнечного тяготения на расстоянии радиуса земной орбиты от Солнца (рис. 29):

где масса Солнца, радиус земной орбиты, скорость тела относительно Солнца. Тогда

Умножая и деля подкоренное выражение на и учитывая, что масса Солнца в 332 400 раз больше массы Земли, получим

Скорость можно сообщить телу в любом направлении. Очевидно, что выгоднее всего сообщить ее в направлении касательной к земной орбите (см. рис. 29), так как в этом направлении тело уже имеет относительно Солнца орбитальную

скорость Земли и Поэтому относительно Земли достаточно сообщить телу скорость

Следует, однако, учесть, что скорость тело должно иметь после выхода из поля тяготения Земли. Поэтому начальная скорость отлета тела с земной поверхности должна быть несколько больше Для определения будем исходить из следующих соображений. Чтобы отлетающее с Земли тело могло уйти из сферы земного тяготения, сохранив после этого скорость его кинетическая энергия в момент отлета должна равняться сумме потенциальной энергии тела на земной поверхности и кинетической энергии тела, движущегося со скоростью

откуда

или, согласно формуле (16),

что соответствует третьей космической скорости.

Четвертая космическая скорость. При этой скорости земное тело смогло бы преодолеть тяготение Галактики и уйти во Вселенную. Расчет четвертой космической скорости довольно сложен, поэтому мы ограничимся приближенной оценкой ее значения исходя из следующих соображений.

Астрофизические наблюдения показывают, что среди звезд, движущихся вокруг центра Галактики на том же расстоянии, что и Солнце, не существует ни одной звезды, скорость которой превышала бы Это обусловлено, вероятно, тем, что есть та наибольшая скорость, при которой звезды (находящиеся в указанной области Галактики); еще могут оставаться в пределах Галактики; при большей скорости они уже не удерживаются нашей звездной системой. Следовательно, четвертая космическая скорость должна быть несколько больше т. е.