§ 86. Разветвленная электрическая цепь. Правила Кирхгофа

До сих пор мы рассматривали простейшие электрические цепи, состоящие только из одного замкнутого проводящего контура (рис. 173). Такие цепи называются неразветвленными. На всех участках неразветвленной цепи силы тока одинаковы. Расчет неразветвленных цепей (т. е. определение силы тока, э. д. с. и сопротивления) легко выполняется с помощью законов Ома (4) и (14).

Более сложной является разветвленная электрическая цепь. Она состоит из нескольких замкнутых проводящих контуров , имеющих общие участки; в каждом контуре может быть несколько источников тока (рис. 174). Силы тока на отдельных участках замкнутого контура разветвленной цепи могут быть различными

Рис. 173

Рис. 174

как по величине, так и по направлению (см., например, контур Непосредственный расчет разветвленной цепи по законам Ома затруднителен, но может быть значительно упрощен применением правил Кирхгофа (сформулированных в 1847 г. Кирхгофом).

Назовем узлами разветвлений такие точки цепи, в которых сходится не менее трех проводников (например, точка А на рис. 174). При этом ток, входящий в узел, будем считать положительным, а ток, выходящий из узла, — отрицательным. Первое правило Кирхгофа утверждает, что

алгебраическая сумма сил тока в узле разветвления равна нулю:

Соотношение (15) выражает тот факт, что при постоянном токе не происходит накопления зарядов в узлах (потенциалы узлов остаются неизменными). Следовательно, за единицу времени одинаковое количество электричества входит в узел и выходит из него.

Применительно к узлу А первое правило Кирхгофа запишется так:

Второе правило Кирхгофа относится к замкнутым контурам разветвленной цепи. Условимся считать положительным направление обхода контура по часовой стрелке. Для контура оно указано прерывистой линией со стрелкой. Токи, идущие в положительном направлении обхода, будем считать положительными, противоположные токи — отрицательными. Точно так же будем приписывать электродвижущим силам знак плюс, если они создают ток в положительном направлении обхода контура; в противном случае будем приписывать электродвижущим силам знак минус. Второе правило Кирхгофа утверждает, что

в замкнутом контуре разветвленной цепи алгебраическая сумма электродвижущих сил источников тока равна алгебраической сумме произведений сил тока на сопротивления соответствующих участков этого контура:

Соотношение (16) является обобщением закона Ома (13) на случай контура разветвленной цепи, содержащей несколько источников тока. Отметим, что, не будучи связанным с постоянством тока, второе правило Кирхгофа применимо также и к цепи переменного тока.

При расчете разветвленной цепи надо, пользуясь правилами Кирхгофа, составить независимые уравнения для нескольких узлов (15) и контуров (16); число уравнений должно равняться числу искомых величин (сил тока, э. д. с. и сопротивлений). Для составления независимых уравнений надо испольвовать только такие контуры, которые различаются хотя бы одним участком, и только такие узлы, которые различаются хотя бы одной силой тока. Направления

искомых сил тока выбираются произвольным образом. Если направление, принятое для какой-либо из сил тока, не соответствует действительному, то в результате расчета по правилам Кирхгофа эта сила получится отрицательной.

Чтобы лучше освоить применение правил Кирхгофа, рассмотрим конкретный числовой пример.

Разветвленная цепь состоит из трех гальванических элементов и трех вольтметров, соединенных по схеме, изображенной на рис. 175. Электродвижущие силы элементов имеют значения Вольтметры обладают сопротивлениями . Необходимо определить силы тока в вольтметрах (пренебрегая сопротивлением гальванических элементов).

Рис. 175

В цепи имеются два узла и три контура Очевидно, что для них можно составить только три независимых уравнения (для одного узла и для двух контуров). Этого достаточно для нахождения трех сил тока Выбрав произвольным образом направления сил тока (указаны на рисунке стрелками), напишем уравнения: для узла А

для контура

для контура

Выразив из первого уравнения силу тока

и подставив ее в два других уравнения, напишем:

Подставив численные значения э. д. с. и сопротивлений, получим систему уравнений

решая которую, найдем (микроампер) и Затем из первого уравнения получим

Пользуясь правилами Кирхгофа, легко рассчитать сопротивление цепи, составленной из нескольких

Рис. 176

(например, трех) проводников, соединенных параллельно (рис. 176). Для контура не содержащего э. д. с., можем написать

откуда

Следовательно, силы в параллельно соединенных проводниках обратно пропорциональны сопротивлениям проводников. Для узла А

но, согласно закону Ома (4),

где напряжение, приложенное к проводникам; полное сопротивление параллельно соединенных проводников. Тогда получим

откуда

Данный вывод справедлив для любого числа проводников. Поэтому

т. е. полная проводимость параллельного соединения проводников равна сумме проводимостей отдельных проводников. Таким образом, при параллельном соединении нескольких проводников их общая проводимость больше проводимости каждого отдельного проводника, а общее сопротивление меньше сопротивления каждого отдельного проводника.

На практике часто приходится от тока основной сети ответвлять определенную часть в некоторый участок цепи, пропуская остальную часть тока через параллельно подключенное к этому участку сопротивление, называемое шунтом. Сопротивление шунта рассчитывается на основании формулы (17). Пусть, например, надо пропустить через амперметр часть тока (рис. 177, а). Введем обозначения: сопротивления шунта и амперметра, силы тока через шунт и амперметр. Согласно формуле (17),

Учитывая, что, по условию, а согласно правилу Кирхгофа, получим выражение для расчета сопротивления шунта:

Шунтированным амперметром можно измерять силы тока, превышающие те, для которых данный амперметр был предназначен.

Нередко также встречается необходимость измерять вольтметром напряжения, превышающие те, для которых он предназначен. В этом случае надо увеличить сопротивление вольтметра, последовательно присоединив в нему дополнительное сопротивление

Рис. 177

Пусть, например, требуется измерить напряжение на участке электрической цепи вольтметром У, который рассчитан на напряжение раз меньшее, чем V (рис. 177, б). Определим величину необходимого дополнительного сопротивления

Обозначив напряжение на дополнительном сопротивлении через и силу тока в нем через можем написать

По условию, тогда

или

что после сокращения на I даст искомое выражение для расчета дополнитель» ного сопротивления:

Само собой разумеется, что результаты измерений, полученные с помощью шунтированного амперметра или вольтметра с дополнительным сопротивлением» надо увеличить в раз.