§ 50. Внутреннее трение (вязкость)

Пусть в ламинарном потоке газа скорость течения убывает в направлении (рис. 92). Как мы уже видели (см. § 47), это может иметь место, например, когда газ течет вблизи твердой стенки.

Рис. 92

Вообразим площадку по которой соприкасаются два соседних слоя газа, и обозначим через и значения скоростей течения на расстояниях от этой площадки Очевидно, что на хаотическое движение молекул наложится скорость потока ввиду чего молекулы верхнего слоя будут обладать большим количеством движения, чем молекулы нижнего слоя: где масса молекулы В процессе хаотического движения молекулы верхнего слоя будут переносить свое количество движения в нижний слой, увеличивая тем самым его скорость; в свою очередь молекулы нижнего слоя будут переносить свое количество движения в верхний слой, уменьшая тем самым его скорость. В результате между слоями возникает внутреннее трение, сила которого будет действовать вдоль площадки параллельно скорости потока.

Применяя уравнение переноса (41), заметим, что в этом случае переносимой физической характеристикой является количество движения молекулы:

Тогда, поскольку концентрацию молекул можно считать одинаковой во всем объеме газа,

где Кроме того, очевидно, что

где изменение количества движения одного слоя относительно другого, происходящее за время на пограничной площадке Так как изменение количества движения равно импульсу действующей силы, то

где сила взаимодействия между слоями газа, действующая в плоскости их соприкосновения, т. е. сила внутреннего трения. Поэтому формулу (52) можно представить в виде

Подставляя выражения (51) и (53) в уравнение переноса (41), получим

Сокращая последнее равенство на и учитывая, что найдем

Обозначив

напишем

откуда следует, что

сила внутреннего трения, возникающая в плоскости соприкосновения двух скользящих относительно друг друга слоев газа, пропорциональна площади их соприкосновения и градиенту скорости

Формула (56) называется уравнением внутреннего трения, или законом Ньютона (так как Ньютон получил такое же уравнение из опыта с жидкостью).

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом внутреннего трения (вязкости). Полагая в формуле (56)

получим

т. е. коэффициент вязкости численно равен силе внутреннего трения, действующей на площади соприкосновения параллельно движущихся слоев газа при градиенте скорости Из формул (55) и (56) следует, что коэффициент внутреннего трения измеряется в

Из пропорциональности произведению [формула (55)] следует, что, как и коэффициент внутреннего трения не зависит от давленияза исключением случаев сильного разрежения газа, когда средняя длина свободного пробега молекул становится больше размера сосуда. Чтобы получить представление о порядке величины коэффициента внутреннего трения, подсчитаем его для кислорода при

нормальных условиях, принимая

что соответствует опытным данным по определению коэффициента внутреннего трения.

В заключение отметим, что вытекающие из сопоставления формул (44), (49) и (55) соотношения между коэффициентами переноса

также находятся в соответствии с опытными данными; это является дополнительным подтверждением правильности рассмотренной нами молекулярно-кинетической теории газа.

Задача 27. Найти коэффициент внутреннего трения азота при нормальных условиях, если коэффициент диффузии для него при этих условиях

Решение. Согласно формулам (55) и (44),

где X — средняя длина свободного пробега, средняя скорость молекул азота, плотность азота. Но, по формуле (12), где и давление и абсолютная температура газа, молярная масса азота. Подставляя это выражение в выражение для и учитывая, что при нормальных условиях и получим

Задача 28. Найти количество прошедшего вследствие диффузии через площадку за время если градиент плотности в направлении, перпендикулярном к площадке, равен Температура азота средняя длина свободного пробега молекул азота см.

Решение. Согласно формуле (43),

где средняя скорость молекул. Так как, согласно формуле (29),

где молярная масса азота, то

Задача 29. Какое количество теплоты теряется ежечасно через двойную парниковую раму за счет теплопроводности воздуха, заключенного между ее полиамидными пленками? Площадь каждой пленки расстояние между ними Температура в парнике температура наружного пространства Температуру воздуха между пленками считать равной среднему арифметическому температур в парнике и в окружающем пространстве. Радиус молекулы воздуха Молярная масса воздуха

Решение. Согласно уравнению теплопроводности газа (48),

где средняя длина свободного пробега и средняя скорость молекул воздуха, плотность воздуха, его удельная теплоемкость при постоянном объеме, — градиент температуры.

В соответствии с формулами (36) и (18)

где — число молекул в единице объема воздуха, давление воздуха, постоянная Больцмана. По определению градиента (см. § 3).

По условию задачи,

откуда абсолютная температура воздуха между пленками Как известно,

где молярная теплоемкость воздуха при постоянном объеме, число степеней свободы молекул воздуха (считаем молекулы воздуха двухатомными).

Теперь, учитывая использованные в задачах 27, 28 выражения для и можем написать: