§ 6. Движение материальной точки по окружности

Рассмотрим движение материальной точки по окружности с постоянной по величине скоростью. В этом случае, называемом равномерным движением по окружности, касательная составляющая ускорения отсутствует и ускорение совпадает со своей центростремительной составляющей Определим величину центростремительного ускорения.

Пусть за малый промежуток времени точка прошла путь переместившись из где она имела скорость в В, где она имеет скорость а радиус-вектор движущейся точки повернулся на малый угол (рис. 11). Построим вектор изменения скорости и определим его величину как углы с взаимно перпендикулярными сторонами: так как по величине скорость постоянна. Следовательно, и подобны как равнобедренные с одинаковыми углами при вершине, поэтому

Тогда, согласно формуле (4),

или, учитывая, что постоянны и получим

При стремящемся к нулю, хорда стремится к дуге поэтому

Следовательно,

Рис. 11 позволяет еще раз убедиться в том, что полученное ускорение действительно является центростремительным. В самом деле, при будет и При этом векторы имеющие одинаковое направление (см. § 4), совпадут с радиусом окружности и будут направлены к ее центру О.

Рис. 11

Наряду со скоростью равномерное движение материальной точки по окружности можно характеризовать так называемой угловой скоростью а), понимая под нею отношение угла поворота радиуса (т. е. отношение углового пути) к промежутку времени за который этот поворот произошел (см. рис. 11):

Единицей измерения угловой скорости является радиан в секунду (рад/с или Радиан в секунду — угловая скорость равномерно вращающегося тела, при которой за время 1 с совершается поворот тела относительно оси на угол 1 рад. В отличие от угловой скорости а) скорость принято называть линейной.

Умножая обе части равенства (10) на и учитывая, что (так как измеряется в радианах), получим соотношение, связывающее линейную скорость с угловой:

Введем еще две характеристики движения материальной точки по окружности: период вращения (время одного оборота точки по окружности) и число оборотов в единицу времени (частота

вращения). Очевидно, что величины взаимно обратные:

Единицей измерения периода вращения является секунда (с); единицей измерения частоты вращения — герц (Гц). Герц — частота, при которой за время 1 с происходит один цикл периодического процесса.

Так как за период радиус окружности, связанный с материальной точкой, повернется на угол то, согласно формуле (10),

Из формул (12) и (13) следует, что

При неравномерном движении материальной точки по окружности вместе с линейной скоростью изменяется и угловая. Поэтому можно ввести понятие углового ускорения (по аналогии с линейным ускорением а).

Средним угловым ускорением называется отношение изменения угловой скорости До к промежутку времени за который это изменение произошло:

Мгновенным угловым ускорением называется предел среднего углового ускорения при стремлении промежутка времени к нулю:

При изменение обусловлено только изменением Поэтому, согласно формуле

откуда

Подставляя последнее выражение в формулу (16), получим

откуда

Угловая скорость и угловое ускорение — величины векторные. Вектор угловой скорости со направлен из центра окружности с радиусом по которой

движется материальная точка перпендикулярно плоскости этой окружности (рис. 12) в сторону поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается в направлении линейной скорости v («правило буравчика»). Очевидно, что вектору — со соответствует противоположное направление движения (вращения) материальной точки. Что касается углового ускорения то его направление совпадает с направлением вектора изменения угловой скорости

При равнопеременном движении материальной точки по окружности линейная скорость и пройденный путь определяются по формулам (5) и (6), в которых в качестве ускорения надо брать его касательную составляющую. Поделив обе части каждой из этих формул на радиус окружности и учитывая, что, согласно формулам (11) и (17),

получим соответствующие выражения для угловой скорости и угла поворота радиуса (углового пути):

где начальная угловая скорость движения материальной точки.

Рис. 12

Задача 1. С крыши дома высотой через равные промежутки времени падают капли воды, причем первая ударяется о землю в тот момент, когда пятая отделяется от крыши. Найти расстояние четвертой капли от крыши в момент удара первой капли о землю.

Решение. Падение капель является равноускоренным движением без начальной скорости с ускорением Поэтому, согласно формуле (6),

Так как капли отрываются от крыши через равные промежутки времени, то время падения четвертой капли а ее растояние от крыши

Задача 2. Трамвай начал двигаться равноускоренно по закругленному участку пути и, пройдя расстояние развил скорость Найти касательное, центростремительное и полное ускорения трамвая через 40 с после начала движения. Радиус закругления

Решение. При равноускоренном движении без начальной скорости, согласно формуле (7),

где касательное ускорение (изменяющее величину скорости). Тогда

Скорость, которую приобретает трамвай по истечении времени согласно формуле (5), есть

Тогда, по формуле (9), центростремительное ускорение

и полное ускорение

Задача 3. Барабан молотилки вращается с постоянной скоростью, соответствующей частоте об/мин. С момента сбрасывания приводного ремня барабан тормозится и вращается равнозамедленно с угловым ускорением Через какое время барабан остановится? Какое число оборотов сделает он до остановки?

Решение. Согласно формуле (18), при равнозамедленном движении угловая скорость барабана в конце торможения где начальная угловая скорость барабана. Так как по условию задачи то Но, согласно формулам (12) и (13), Поэтому

(поскольку оборот и радиан безразмерны).

Угловой путь барабана от начала торможения до остановки, согласно формуле (18), равен

Подставляя в последнюю формулу выражение и учитывая, что получим

откуда