Глава IV. Вращательное движение твердого тела

§ 21. Основной закон динамики вращения

В этой главе твердое тело рассматривается как совокупность материальных точек, не смещающихся друг относительно друга. Такое не поддающееся деформации тело называется абсолютно твердым.

Пусть твердое тело произвольной формы вращается под действием силы вокруг неподвижной оси 00 (рис. 30). Тогда все его точки описывают окружности с центрами на этой оси. Понятно, что все точки тела имеют одинаковую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение (в данный момент времени).

Рис. 30

Разложим действующую силу на три взаимно перпендикулярные составляющие: (параллельную оси), (перпендикулярную оси и лежащую на линии, проходящей через ось) и (перпендикулярную Очевидно, что вращение тела вызывает только составляющая являющаяся касательной к окружности, описываемой точкой приложения силы. Составляющие вращения не вызывают. Назовем вращающей силой. Как известно из школьного курса физики, действие силы зависит не только от ее величины, но и от расстояния точки ее приложения А до оси вращения, т. е. зависит от момента силы. Моментом вращающей силы (вращающим моментом) называется произведение вращающей силы на радиус окружности описываемой точкой приложения силы:

Мысленно разобьем все тело на очень малые частицы — элементарные массы. Хотя сила приложена к одной точке А тела, ее вращающее действие передается всем частицам: к каждой элементарной массе будет приложена элементарная вращающая сила (см. рис. 30). Согласно второму закону Ньютона,

где линейное ускорение, сообщаемое элементарной массе. Умножая обе части этого равенства на радиус окружности, описываемой элементарной массой, и вводя вместо линейного угловое ускорение (см. § 7), получим

Учитывая, что вращающий момент, приложенный к элементарной массе, и обозначая

получим

где момент инерции элементарной массы (материальной точки). Следовательно, моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси вращения называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси.

Суммируя вращающие моменты приложенные ко всем элементарным массам, составляющим тело, получим

где вращающий момент, приложенный к телу, т. е. момент вращающей силы момент инерции тела. Следовательно, моментом инерции тела называется сумма моментов инерции всех материальных точек, составляющих тело.

Теперь можно переписать формулу (3) в виде

Формула (4) выражает основной закон динамики вращения (второй закон Ньютона для вращательного движения):

момент вращающей силы, приложенной к телу, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение.

Из формулы (4) видно, что угловое ускорение, сообщаемое телу вращающим моментом, зависит от момента инерции тела; чем больше момент инерции, тем меньше угловое ускорение. Следовательно, момент инерции характеризует инерционные свойства тела при вращательном движении подобно тому, как масса характеризует инерционные свойства тела при поступательном движении, Однако в отличие от массы момент инерции данного тела может иметь множество значений в соответствии с множеством возможных осей вращения. Поэтому, говоря о моменте инерции твердого тела, необходимо указывать, относительно какой оси он рассчитывается. На практике обычно приходится иметь дело с моментами инерции относительно осей симметрии тела.

Из формулы (2) следует, что единицей измерения момента инерции является килограмм-квадратный метр

Если вращающий момент и момент инерции тела то формулу (4) можно представить в виде

или

где промежуток времени, в течение которого угловая скорость вращения тела изменяется от до Произведение (аналогичное импульсу силы называется импульсом момента силы, произведение (аналогичное количеству движения называется моментом количества движения (моментом импульса).

Формула (5) выражает закон изменения момента количества движения (аналогичный закону изменения количества движения):

изменение момента количества движение тела за некоторый промежуток времени равно импульсу момента силы за тот же промежуток времени.

Подчеркнем, что закон изменения момента количества движения остается справедливым и в общем случае переменного вращающего момента Обобщение этого закона проводится посредством рассуждений, аналогичных тем, к которым мы уже обращались при выводе закона изменения количества движения (см. § 8).

Вращающий момент, импульс момента и момент количества движения являются векторными величинами; они направлены по оси вращения в соответствии с правилом буравчика, т. е. так же, как вектор угловой скорости (см. § 6).