§ 49. Теплопроводность

Пусть в некотором объеме газа температура убывает в направлении (рис. 89). Это может иметь место, например, в случае, когда в левой части объема находится нагреватель.

Обозначим через значения температуры на расстояниях от площадки Тогда Так как кинетическая энергия газовой молекулы (см. § 43)

то энергия молекул, находящихся слева от больше энергии молекул, находящихся справа от Поэтому в направлении убывания температуры будет происходить преимущественный перенос энергии, а следовательно, и количества теплоты поскольку внутренняя энергия газа слагается из кинетической энергии его молекул.

Применяя уравнение переноса (41), заметим, что в данном случае переносимой физической характеристикой является энергия молекулы, т. е.

Рис. 89

Тогда, поскольку концентрацию молекул можно считать одинаковой во всем объеме газа,

где Кроме того, очевидно, что

где количество теплоты (внутренней энергии), переносимое за время через площадку перпендикулярную направлению убывания температуры.

Подставляя выражения (46) и (47) в уравнение переноса (41), получим

Умножая и деля правую часть этого равенства на массу молекулы и учитывая, что напишем

Так как

где плотность газа, молярная масса, молярная теплоемкость при постоянном объеме, то последнее равенство примет вид

Но , где удельная теплоемкость газа при постоянном объеме. Поэтому окончательно получим

Обозначив

найдем

Отсюда следует, что

количество теплоты переносимое через площадку перпендикулярную направлению в котором убывает температура, пропорционально размеру этой площадки, промежутку времени переноса и градиенту температуры

Формула (50) называется уравнением теплопроводности, или законом Фурье (так как впервые такое уравнение вывел французский математик Фурье).

Коэффициент пропорциональности х называется коэффициентом теплопроводности. Полагая в формуле получим

т. е. коэффициент теплопроводности численно равен количеству теплоты у переносимому через площадку в за 1 с при градиенте температуры Из формул (49) и (50) следует, что коэффициент теплопроводности измеряется в .

Чтобы получить представление о порядке величины коэффициента теплопроводности, подсчитаем его по формуле (49) для кислорода при нормальных условиях, принимая

Тогда

что соответствует опытным данным по определению коэффициента теплопроводности.

Поскольку а то произведение не зависит от давления. Поэтому, согласно формуле (49), коэффициент теплопроводности не зависит от давления. Опыт подтвердил этот кажущийся странным вывод.

Следует, однако, иметь в виду, что у сильно разреженных газов, заключенных в сосуд, коэффициент теплопроводности может оказаться зависящим от давления. Будем разрежать газ, находящийся например, в кубическом сосуде с ребром а (рис. 90). При этом X будет увеличиваться, уменьшаться. Поэтому произведение а следовательно, и х останутся постоянными. Понизим давление до такой степени, что X станет равной а. Тогда при дальнейшем разрежении будет уменьшаться, а X уже не сможет увеличиваться — не позволят стенки сосуда. Поэтому произведение а следовательно, и х будут теперь уменьшаться вместе с уменьшением давления. Следовательно, коэффициент теплопроводности пропорционален давлению, если средняя длина свободного пробега молекул газа превышает размер сосуда. Итак, не зависит от при

Рис. 90

Очевидно, что степень разрежения, при которой начинает зависеть от давления, определяется размером сосуда: чем больше размер сосуда, тем меньше станет давление. Подсчитаем, например, величину этого давления для кислорода, находящегося в сосуде кубической формы с ребром см. При давлении средняя длина свободного пробега см; при нормальном давлении средняя длина свободного пробега см (см. § 46). Так как

то

откуда, подставляя соответствующие значения, получим

Следовательно, в сосуде с ребром см х зависит от давления при давлениях .

Зависимость коэффициента теплопроводности от давления в разреженном газе используется в устройстве термоса (сосуда Дьюара). Термос представляет

Рис. 91

собой сосуд с двойными стенками (рис. 91), между которыми находится сильно разреженный газ, имеющий поэтому малый коэффициент теплопроводности Теплообмен между внутренним объемом термоса и внешней средой происходит практически только через узкую горловину, закрытую пробкой. Поэтому налитая в термос жидкость долгое время сохраняет свою первоначальную температуру.