§ 58. Вязкость жидкости. Турбулентное движение жидкости

В первой части курса (см. гл. V) рассматривалось движение невязкой (идеальной) жидкости. Реальная жидкость обладает вязкостью (внутренним трением), обусловленной сцеплением между ее молекулами. Благодаря вязкости движение жидкости, как и движение газа, носит ламинарный характер. Сила внутреннего трения выражается законом Ньютона (см. § 50):

где градиент скорости течения жидкости, площадь соприкосновения слоев жидкости, коэффициент вязкости (внутреннего трения) жидкости.

Рис. 103

Вязкость жидкости во много раз превосходит вязкость газа. Значение коэффициента вязкости жидкости находится в пределах Вместе с тем вязкость жидкости сильно зависит от температуры — уменьшается с повышением температуры, так как при этом увеличивается среднее расстояние между молекулами и, следовательно, уменьшается сцепление между ними. У воды, например, при при

Вязкость затрудняет течение жидкости по трубе (или иному руслу), уменьшая его скорость.

Французский физик и физиолог Пуазейль в 1841 г. установил, что средняя скорость ламинарного течения жидкости по трубе пропорциональна градиенту давления жидкости, квадрату радиуса трубы и обратно пропорциональна коэффициенту вязкости жидкости (рис. 103; ламинарное течение вязкой жидкости в трубе при постоянной разности давлений на ее концах):

Формула (17) называется законом Пуазейля. Знак минус показывает» что скорость течения направлена противоположно градиенту давления. Так как объем жидкости протекающей за время череа трубу, выражается формулой

где площадь поперечного сечения трубы, то, подставив

выражение скорости из формулы (17) в формулу (18), получим

т. е. объем жидкости, протекающей по трубе, пропорционален четвертой степени радиуса трубы, времени и градиенту давления жидкости и обратно пропорционален коэффициенту вязкости жидкости. По формуле (19) можно опытным путем определить коэффициент вязкости жидкости, что и было сделано Пуазейлем.

Благодаря вязкости тело, движущееся в жидкости, увлекает прилегающие к нему слои жидкости и потому испытывает сопротивление (трение) со стороны жидкости. Сила сопротивления зависит от скорости движения тела, его размеров и формы. Как установил английский физик и математик Стоке, для тел шарообразной формы, движущихся с небольшой скоростью у сила сопротивления жидкости пропорциональна коэффициенту вязкости жидкости радиусу шара и скорости движения

Рис. 104

Формула (20), называемая законом Стокса, применима также к движению шарообразных тел в газе, например к случаю падения дождевых капель в атмосфере.

На шар массой и радиусом падающий со скоростью в жидкости с вязкостью действуют три силы: сила тяжести выталкивающая сила жидкости и сила сопротивления жидкости (рис. 104). Так как силы постоянны, а сила возрастает с увеличением скорости движения шара, то с некоторого момента времени эти силы уравновесят друг друга:

Тогда шар будет двигаться равномерно. Учитывая, что, по закону Ньютона,

а по закону Архимеда,

где плотность шара, плотность жидкости и ускорение силы тяжести, напишем

откуда после соответствующих преобразований получим выражение

по которому можно определить опытным путем коэффициент вязкости жидкости. Из последней формулы можно выразить скорость падения шара:

По этой формуле определяется, например, скорость падения дождевых капель в воздухе.

Ламинарный характер течения жидкости (или газа) имеет место только при небольших скоростях. При больших скоростях в потоке появляются вихри, перемешивающие между собой все слои жидкости; такое движение называется турбулентным. В этом случае скорость течения становится почти одинаковой по всему сечению трубы (или иного русла) и лишь вблизи ее стенок возникают очень большие градиенты скорости (рис. 105; w - скорость потока, а — вихрь в потоке).

Рис. 105

Сила трения, действующая на тело, находящееся в турбулентном потоке, резко возрастает, становясь пропорциональной уже не первой степени, а квадрату и даже кубу скорости.

Турбулентное движение можно, например, наблюдать в водном потоке на узких и мелких участках русла реки; здесь появляются характерные водяные вихри — водовороты. В воздушном потоке это движение наблюдается, например, вблизи строений; возникающие здесь при сильном ветре воздушные вихри поднимают с земли и «крутят» пыль, обрывки бумаги и другие легкие предметы.

Задача 30. При температуре цинковый стержень имеет длину а медный При какой температуре стержни будут иметь одинаковую длину? Коэффициенты линейного расширения цинкового и медного стержней соответственно равны:

Решение. Исходя из формулы (2) можем написать, что при температуре

Тогда

Задача 31. В объеме воды растворено поваренной соли. Найти осмотическое давление для этого раствора при температуре если степень диссоциации молекул соли 75%.

Решение. Согласно закону Вант-Гоффа (13), для недиссоциированного раствора

где концентрация раствора, его абсолютная температура, молярная масса растворенного вещества универсальная газовая постоянная.

Диссоциация молекул ведет к увеличению числа частиц в растворе и, следовательно, к пропорциональному росту осмотического давления (см. § 56). Поэтому, с учетом диссоциации,

Задача 32. Определить скорость движения жировых шариков в молоке: а) при естественном отстаивании сливок; б) при отделении сливок посредством молочного сепаратора, где молоко вращается на расстоянии см от оси сепаратора с частотой об/мин. Радиус жировых шариков считать равным плотность жира плотность обрата коэффициент внутреннего трения обрата

Решение, а) На жировой шарик, всплывающий в молоке при естественном отстаивании сливок, действуют три силы: направленная вверх архимедова сила и направленные вниз сила тяжести и сила внутреннего трения Шарик будет двигаться равномерно при условии или

Тогда, учитывая закон Стокса (20), второй закон Ньютона и архимедову силу, можно написать (см. § 58)

Поэтому

б) При отделении сливок посредством сепаратора роль силы тяжести играет центробежная сила инерции (см. § 14) и жировые шарики будут теперь всплывать в горизонтальном направлении к оси сепаратора (а более плотные частицы обрата пойдут к периферии сепаратора). Поэтому условие равновесия сил, действующих на жировые шарики, запишется так:

Тогда

где центробежное ускорение. Из последнего равенства получим

Таким образом, скорость движения жировых шариков в молоке при его Сепарировании приблизительно в 2000 раз больше, чем при естественном отстаивании сливок. Понятно, что время сепарирования во столько же раз меньше времени отстаивания.