§ 97. Некоторые приложения закона Био-Савара-Лапласа

1. Напряженность магнитного поля конечного прямолинейного проводника с током. Обозначим буквой расстояние от проводника с током до точки О, в которой определяется напряженность поля (рис. 220). Выделим в проводнике элементарный участок на расстоянии от точки О. Так как для всех элементарных участков проводника ток имеет одно значение, то полная напряженность магнитного поля в точке О, согласно формуле (10), равна

Рис. 220

Из точки О проведем радиусом отрезок дуги Ввиду малости участка а следовательно, и угла можно считать, что отрезок АВ прямолинеен, и

Тогда из получим откуда

или, учитывая, что

Вводя последнее выражение в формулу (11) и переходя от интегрирования по длине к интегрированию по углу а в пределах от до , получим

или окончательно

Направление перпендикулярно плоскости листа (обращено к читателю).

2. Напряженность магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с током. Этот расчет легко выполнить, пользуясь формулой (12). В самом деле, в случае бесконечно длинного проводника Тогда Поэтому напряженность магнитного поля бесконечного прямолинейного тока равна

Практически по этой формуле можно рассчитывать напряженность поля от конечного, но достаточно длинного проводника, т. е. в случаях, когда расстояние значительно меньше длины проводника

На основании формулы (13) дается определение единицы измерения напряженности магнитного поля — ампера на метр (о которой упоминалось в § 96). Положим в этой формуле тогда получим Следовательно, ампер на метр есть напряженность магнитного поля, создаваемого длинным прямолинейным проводом с током в 1 А на расстоянии от его оси.

Рис. 221

3. Напряженность магнитного поля в центре кругового тока В этом случае радиус кругового контура) имеют постоянные значения для всех участков (см. рис. 221). Поэтому в соответствии с формулой (10) напряженность магнитного поля в центре кругового тока равна

или, поскольку

Произведение силы кругового тока на обтекаемую им площадь называется магнитным моментом кругового тока:

Магнитный момент является вектором, расположенным перпендикулярно плоскости кругового тока в его центре О и совпадающим по направлению с напряженностью магнитного поля в центре кругового тока (рис. 221).

Как уже отмечалось в § 94, круговой ток подобен постоянному магниту; во внешнем магнитном поле он ориентируется так, что его собственное поле совпадает с внешним. Можно, следовательно, сказать, что круговой ток поворачивается во внешнем магнитном поле таким образом у что его магнитный момент устанавливается в направлении внешнего поля.

4. Напряженность магнитного поля на оси кругового тока. Определим полную напряженность поля, создаваемого круговым током в точке лежащей на его оси круговой контур ориентирован перпендикулярно плоскости листа (рис. 222).

Рис. 222

Выделим в контуре два диаметрально противоположных элементарных участка и построим векторы элементарной напряженности полей, создаваемых этими участками в точке А. Разложим на две составляющие: направленную по оси и перпендикулярную ей.

Из рис. 222 следует, что для каждой пары диаметрально противоположных участков составляющие равны между собой по величине и противоположны по направлению, а составляющие равны по величине и одинаково направлены. Поэтому при геометрическом сложении элементарных напряженностей от всех участков составляющие взаимно уничтожаются и полная напряженность в точке А будет равна алгебраической сумме всех т. е. интегралу, взятому от по всему круговому контуру I:

Согласно рисунку,

Тогда, учитывая, что, по закону Био - Савара — Лапласа (8),

и что можем написать

Подставляя последнее выражение в формулу (16) и учитывая, что для всех участков контура одинаковы, получим

Так как окончательное выражение напряженности поля примет вид

Эта напряженность направлена вдоль оси кругового тока.

Отметим, что при т. е. для центра кругового тока, выражение (17)

что совпадает с выведенной ранее формулой (14).