§ 43. О числе степеней свободы. Внутренняя энергия газа

Молекулы идеального газа не взаимодействуют друг с другом и, следовательно, не обладают потенциальной энергией. Поэтому вся энергия молекул идеального газа состоит только из кинетической энергии поступательного и вращательного движений. Среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы мы определили в предыдущем параграфе [формула (17)]. Для учета средней кинетической энергии вращательного движения молекулы необходимо ввести в рассмотрение понятие числа степеней свободы тела.

Рис. 75

Числом степеней свободы тела называется число независимых координат, определяющих положение тел в пространстве.

Поясним данное определение. Если тело перемещается в пространстве совершенно произвольно, то это перемещение всегда можно составить из шести одновременных независимых движений: трех поступательных (вдоль трех осей прямоугольной системы координат) и трех вращательных (вокруг трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр тяжести тела) (рис. 75). Иными словами, положение тела в пространстве определяется в этом случае шестью независимыми координатами: тремя линейными и тремя угловыми Следовательно, согласно определению, число степеней свободы произвольно движущегося в пространстве тела равно шести (три поступательных и три вращательных степени свободы). Если свобода движения тела ограничена, то его число степеней свободы меньше шести. Например, тело движется только по плоскости, имея при этом возможность произвольного вращения (катящийся мяч). Тогда число его степеней свободы равно пяти (две поступательных и три вращательных). Железнодорожный вагон имеет одну степень свободы (поступательную), так как он движется только по линии. Колесо вагона имеет две степени свободы: одну поступательную (вместе с гагоном) и одну вращательную (вокруг горизонтальной оси).

Вернемся теперь к вопросу о кинетической энергии молекулы газа. Ввиду полной хаотичности движения молекул все виды их движений (и поступательные, и вращательные) одинаково возможны (равновероятны). Поэтому на каждую степень свободы молекулы приходится в среднем одинаковое количество энергии (теорема Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы).

Поскольку молекулы движутся совершенно произвольно, они должны были бы иметь по шесть степеней свободы. Однако здесь надо принять во внимание следующее обстоятельство.

Молекулу одноатомного газа (например, Не) можно представить как материальную точку, вращение которой вокруг собственных осей не изменяет ее положения в пространстве. Значит, для определения положения одноатомной молекулы достаточно задать только ее линейные координаты. Поэтому одноатомной молекуле следует приписать число степеней свободы, равное трем (поступательным). С физической точки зрения это обстоятельство можно пояснить так. Кинетическая энергия вращательного движения тела (см. § 23) равна

где — угловая скорость вращения, I — момент инерции тела. Для материальной точки

где масса материальной точки, ее расстояние от оси вращения. Если материальная точка вращается вокруг своей оси, то Но тогда и Следовательно, у одноатомной молекулы на вращательнсе движение (на вращательные степени свободы) приходится бесконечно малая энергия, которой можно пренебречь. Строгое доказательство этого положения возможно только на основе квантовой механики.

Рис. 76

Молекулу двухатомного газа (например, ) можно представить как совокупность двух материальных точек — атомов, жестко связанных между собой химическими связями (рис. 76, а). Вращение такой молекулы вокруг оси, проходящей через оба атома, не меняет положения молекулы в пространстве. С физической же точки зрения энергия, приходящаяся на вращение молекулы вокруг оси, проходящей через атомы, близка к нулю. Поэтому двухатомной молекуле следует приписать пять степеней свободы (три поступательных и две вращательных).

Что касается трехатомной молекулы (рис. 76, б), то она, очевидно, имеет все шесть степеней свободы (три поступательных и три вращательных). Столько же степеней свободы имеют и другие многоатомные молекулы (четырехатомные, пятиатомные и т. д.).

Для подсчета средней кинетической энергии, приходящейся на одну степень свободы молекулы, воспользуемся формулой (17):

Так как эта энергия получена для одноатомной молекулы (как материальной точки), имеющей три степени свободы, то на одну степень свободы молекулы приходится энергия

Тогда, согласно упомянутой теореме Больцмана, молекула, имеющая степеней свободы, будет обладать полной кинетической энергией

или

Следовательно, полная кинетическая энергия молекулы газа пропорциональна его абсолютной температуре и зависит только от нее.

Из формулы (19) вытекает физический смысл абсолютного нуля температуры: при будет и т. е. при абсолютном нуле прекращается движение молекул газа.

Согласно формуле (19), одноатомная молекула имеет полную энергию

двухатомная молекула имеет полную энергию

трехатомная и многоатомная молекулы имеют полную энергию

Тогда внутренняя энергия некоторой массы газа равна произведению числа молекул, содержащихся в этой массе, на полную кинетическую энергию одной молекулы:

Так как для моля газа то для внутренней энергии моля получим (учитывая, что

т. е.

Из формулы (19) легко получить удобное для практических расчетов выражение внутренней энергии любой массы газа, учитывая, что число молей этого газа равно где молярная масса, тогда

Следовательно, внутренняя энергия любой массы газа пропорциональна числу степеней свободы молекулы, абсолютной температуре и массе газа.

Несмотря на то что здесь рассматривался идеальный газ, мы уже отказались от одного упрощающего предположения, приписанного ему Молекулы многоатомных газов обсуждались здесь не как материальные точки, а как тела — системы материальных точек. Тем самым учитывалась индивидуальность газа, допускалось их некоторое разнообразие.

Подсчитаем в качестве примера внутреннюю энергию кислорода при температуре

Для кислорода Тогда, применяя формулу получим

Оказывается, что энергия теплового движения, заключенная в газа, весьма значительна. Однако извлечь ее для практического использования невозможно. Реализовать можно лишь ничтожно малую долю этой энергии (в процессе теплообмена с холодильником, т. е. с телом большой массы, температура которого ниже температуры данного газа).