§ 25. Уравнение Бернулли

Пусть по наклонной трубке тока (или реальной трубе) переменного сечения движется жидкость в направлении слева направо. Мысленно выделим область трубки, ограниченную сечениями в которых скорости течения равны соответственно и (рис. 37). Определим изменение полной энергии, происходящее в этой области за малый промежуток времени За это время масса жидкости, заключенная между сечениями втекает в рассматриваемую область, а масса, заключенная между сечениями выге кает из нее. Иных изменений в рассматриваемой области не происходит. Поэтому величина изменения полной энергии равна разности полных энергий вытекающей и втекающей масс.

Рис. 37

Учитывая, что полная энергия идеальной несжимаемой жидкости слагается из ее кинетической и потенциальной энергий, получим

где индексы 1 и 2 относятся соответственно к сечениям

Как мы уже видели (см. § 24), вытекающая и втекающая массы оказываются одинаковыми Вводя в формулу (2) выражения кинетической и потенциальной энергий, напишем

где ускорение силы тяжести.

В соответствии с законом сохранения энергии, найденная величина изменения энергии должна равняться работе внешних сил (давления) по перемещению массы

Определим эту работу. Внешняя сила давления совершает работу по перемещению втекающей массы на пути в то же время вытекающая масса совершает работу против внешней силы давления на пути Поэтому

а искомая работа

Учитывая, что

где и -давления на сечениях получим

Но

объем каждой из рассматриваемых масс (см. § 24). Поэтому

Объединяя формулы (3), (4) и (5), получим после перегруппировки слагаемых

Поделив обе части последнего равенства на и учитывая, что плотность жидкости, получим

Поскольку сечения выбраны произвольно, можно окончательно написать

Это соотношение, выведенное в 1738 г. Д. Бернулли, называется уравнением Бернулли. Первое слагаемое левой части этого уравнения представляет собой удельную кинетическую энергию жидкости; второе — удельную потенциальную энергию жидкости в поле силы тяжести; третье — удельную энергию жидкости, обусловленную силами давления (удельная энергия — энергия, приходящаяся на единицу объема жидкости).

Единицей измерения давления является паскаль (Па). Паскаль — давление, вызываемое силой равномерно распределенной на поверхности площадью

Следовательно, уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии (удельной) и может быть сформулировано так:

при установившемся движении идеальной несжимаемой жидкости сумма удельной энергии давления и кинетической и потенциальной удельных энергий остается постоянной на любом поперечном сечении потока.

Из приведенного преобразования единиц измерения давления в единицы измерения удельной энергии следует, что все члены левой части уравнения (6) можно еще рассматривать как величины давления. Величину называют статическим давлением, величину динамическим давлением, величину гидравлическим давлением. Следовательно, уравнению Бернулли можно дать еще такую формулировку:

в установившемся потоке идеальной несжимаемой жидкости полное давление, слагающееся из динамического, гидравлического и статического давлений, постоянно на любом поперечном сечении потока.

Для горизонтальной трубки тока (или реальной трубы) уравнение Бернулли принимает вид

(так как

Из уравнений Бернулли и неразрывности следует, что в местах сужения трубопровода скорость течения жидкости возрастает, а давление понижается.

В заключение остановимся на следующем важном положении. Уравнения (1) и (6) применимы не только к жидкостям, но и к газам в случаях, когда сжимаемостью и вязкостью газа можно пренебрегать. Оказывается, что это можно делать при небольших скоростях движения газа, когда в газовом потоке обычно не возникает больших градиентов скорости, а следовательно, и больших сил вязкости (см. § 50). Что касается сжимаемости газа, то, как показывают теория и опыт, ею можно пренебречь при скоростях движения газа, меньших скорости распространения звука в нем. Скорость звука в воздухе составляет около Поэтому воздух, движущийся со скоростью, не превышающей допустимо считать идеальной несжимаемой жидкостью и применять к нему уравнение неразрывности и уравнение Бернулли.