§ 4. Экспериментальное обоснование дисперсионных соотношений в квантовой теории поля

Как уже было сказано, вопрос о соответствии д. с. экспериментальным данным представляет принципиальную важность особенно для теории сильных взаимодействий, где нет ни одного результата теории, количественно соответствующего экспериментальным данным. Поэтому сравнение результатов дисперсионного подхода для сильных взаимодействий с опытом имеет особое значение. Для проведения такого сравнения следует выбрать процесс, для которого имеется достаточный экспериментальный материал, а д. с. не содержат каких-либо неоправданных гипотез. Этим двум условиям удовлетворяет процесс пион-нуклонного рассеяния на нулевой угол.

Д. с. для него получены Голдбергером и др. (1955) и имеют следующий вид:

где — соответственно массы нуклона и пиона, — константа связи. Смысл величин ясен из следующего выражения для амплитуд процессов

По известной оптической теореме функции выражаются через полные сечения (см. ):

где q — импульс, а Е — полная энергия пиона в л. с. к.

Соотношения (4.1) выписаны для процессов -рассеяния. Полезно иметь в виду и другую форму записи соотношений (4.1) через их полусумму и полуразность, так как в этом случае наиболее отчетливо проявляется кроссинг-симметрия (3.8), а именно:

Помимо интегральных членов, д. с. в этом случае содержат полюсные и полиномиальные. Степень полиномов связана с ростом амплитуд на бесконечности. Вопрос о степени роста амплитуды процесса всегда лежит вне рамок дисперсионного подхода и до настоящего времени не может быть однозначно определен теоретически (см., однако, конец § 8.5). Поэтому здесь приходится обращаться к экспериментальным данным, которые, по-видимому, указывают на то, что при сечения слабо меняются, так что их можно считать постоянными. Этот вывод, конечно, не строг, но если его принять, то из (4.3) следует линейный рост амплитуд , и формула (4.1) оправдана.

При таком подходе, однако, оценка степени роста функции получается завышенной. Причина этого состоит в том, что в оптическую теорему входят для которых справедлива теорема Померанчука (1958)

Д. с. для (так называемое «д. с. без вычитания») не содержит полиномов по Е. Известно, что оно хорошо согласуется с опытом.

Поэтому, строго говоря, присутствие двух постоянных в д. с. (4.1) не является необходимым и объясняется соображениями удобства записи.

Полюсы в амплитудах присутствуют потому, что законы сохранения допускают следующую последовательность в реакциях р-рассеяния:

Иными словами, в условии унитарности (3.9) первым из полной системы функций и наинизшим по массе является однонуклонное состояние Полюсные вклады в амплитуды (4.2) соответствуют низшему порядку теории возмущений (см. рис. 7). Отсюда понятно, что полюсные члены пропорциональны .

Положение их определяется законом сохранения энергии для элементарных процессов .

Нетрудно получить для энергии пиона Е значения так как имеем равенства

Пионы с полными энергиями являются нефизическими, ибо у них .

Рис. 7.

Следует подчеркнуть, что есть не константа связи в теории возмущений, а так называемая перенормированная константа связи мезон-нуклонного взаимодействия. То, что д. с. (4.1) содержат перенормированную константу связи, является несомненным достоинством дисперсионного подхода, так как он связывает значения с наблюдаемыми величинами Тем самым приобретает полный смысл физической величины, выражаемой через данные опыта.

Действительно, в соотношения (4.1) входят величины Ниже будет показано, что все они определяются экспериментально. Тогда единственным свободным параметром в (4.1) является Поэтому проверка (4.1) состоит в установлении того, что существует значение для которого правые и левые части (4.1) равны. Одновременно такая проверка служит и способом определения величины

Для этой проверки необходимо вычислить как функции энергии через интегралы от а затем сравнить полученные кривые с экспериментальными значениями. Величины можно получить из экспериментальных данных по дифференциальным сечениям, поскольку

Знак определяется по интерференции с кулоновским рассеянием. Значения выражаются черев длины рассеяния.

Построение функций требует вычисления интегралов в смысле главного значения от полных сечений Последние известны с ошибками и могут быть аппроксимированы различными способами. Довольно быстро было установлено, что, варьируя вид кривых в пределах экспериментальных ошибок, можно получить для достаточно широкий коридор, захватывающий экспериментальные точки (Зади, Ломон ). Такая чувствительность к форме кривых объясняется присутствием в соотношениях (4.1) интегралов в смысле главного значения. Последние легко представить в виде

Второй интеграл в правой части (4.6) является обычным несобственным интегралом. Подынтегральная функция первого интеграла содержит неопределенность типа 0/0 в точке . Если эту точку выделить интервала интегрирования, то для плавных функций будет справедлива оценка

Отсюда и видна сильная зависимость интеграла в смысле главного значения от величины производной подынтегральной функции. Поэтому выбор вида зависимости полных сечений от анергии важен и должен основываться на физических гипотезах.

Представим каждое из полных сечений как сумму упругой и неупругой частей:

В свою очередь, упругие сечения зададим в виде суммы брейт-вигнеровских резонансных формул и некоторой плавной убывающей функции, описывающей в основном -рассеяние (см. Клепиков и др. (1960)). Каждое парциальное сечение, т. е. сечение рассеяния пионов с моментом I, дает в полное упругое сечение вклад

Вспоминая поведение фазы при малых q, легко получить, что значения определяются только -волнами. Далее, из формулы (4.7) очевидно, что вклад любого парциального сечения в полное упругое падает с энергией не медленнее, чем Следовательно, -волны можно учесть, например, с помощью функций

В качестве примера резонансной формулы приведем формулу для первого из резонансов в сечениях — так называемую формулу Бракнера (в ней учтена релятивистская зависимость энергии от импульса):

Здесь — полная энергия системы в системе центра масс, а ширина резонанса Г имеет вид

Параметры резонанса имеют следующие значения:

(резонансная кинетическая энергия пиона в л. с. к. равна );

(параметр ширины резонанса)

(параметр асимметрии резонанса)

Поведение Г при малых можно понять на основе теории эффективного радиуса; оно соответствует тому, что резонанс имеет место в состоянии с .

Наконец, для используем одну и ту же функцию , отличную от нуля только выше порога первого неупругого процесса () и становящуюся на бесконечности постоянной . В соответствии с теоремой Померанчука эта постоянная одинакова для и -рассеяний.

Результаты анализа полных сечений согласно такой гипотезе приведены на рис. 8. Если теперь вычислить

Рис. 8.

функции , то при значении в широком интервале энергий получается хорошее совпадение теоретических кривых и экспериментальных данных (см. рис. 9 и 10).

В последнее время д. с. (4.1) проверяются и при больших энергиях, (см. Барашенков ). В этом случае очень важен конкретный вид функций так как именно он определяет те детали высокоэнергетического поведения которые при малых энергиях задаются брейт-вигнеровскими формулами. В настоящее время еще нет достаточных теоретических и экспериментальных данных для того, чтобы говорить о справедливости или несправедливости д. с. при энергиях .

Однако можно утверждать, что сравнение д. с. с опытом убеждает в их справедливости в широком интервале энергий до

Рис. 9.

Рис. 10.

Следовательно, принципы, лежащие в их основе, а именно, причинность (аналитичность), унитарность и кроссинг-симметрия, получают хорошее экспериментальное подтверждение. Эти принципы служат фундаментом всего дисперсионного подхода.

На их основе строятся многочисленные применения к отдельным процессам, которые связаны с дополнительными гипотезами и приближениями. Поэтому трудности применения дисперсионного подхода к конкретным процессам скорее всего заключены в этих дополнительных предположениях.