§ 24. Различные варианты использования представления Мандельстама

Представление Мандельстама открыло широкие возможности для анализа различных процессов с участием сильно взаимодействующих частиц (см. рис. 2). Большой интерес к -рассеянию определяется его исключительным положением в дисперсионном методе и относительной простотой и замкнутостью уравнений для него. Интерес к -рассеянию связан, очевидно, с накопленным к настоящему времени богатым экспериментальным материалом, который позволяет детально проверять выводы теории. Сами же теоретические построения не столь прозрачны, как в случае -рассеяния. Рассеяние -мезонов на нуклонах связано с процессами -рассеяния и Поэтому уравнения -рассояния неизмеримо более сложны, чем уравнения -рассеяния, включая последние как свою часть. В такой ситуации ясна неизбежность приближений, которые и отличают различные подходы к я обломе. Преимущества той или иной со вокупности приближений, как правило, нелегко выявить.

24.1. Применение приближения Чини — Фубини.

Представление Мандельстама можно использовать для получения уравнений для спектральных функций (Тер-Мартиросян (I960)), после вычисления которых амплитуда рассеяния восстанавливается по формулам (23.1). На таком пути не было получено ни одного результата, допускающего сравнение с экспериментом. Работы, доведенные до сравнения с экспериментальными данными, используют представление Мандельстама как источник информации об аналитических свойствах парциальных волн в комплексной плоскости энергетической переменной. Для этих целей фактически достаточно одномерных представлений Чини — Фубини (§ 9.2). Спектральные функции одномерных представлений Чини — Фубини можно выразить через мнимые части амплитуд процессов I — III (23.2). Если затем учесть наличие -резонанса в каналах I, И и предположить существование р-мезона, то можно выразить амплитуды и ВИ через параметры р-мезона и -резонанса. Далее, путем интегрирования из и выделяются парциальные волны Однако в этом месте приходится использовать разложение по полиномам Лежандра для значений с, лежащих вне эллипса Лемана. Аналогичные трудности уже встречались нам при выводе уравнений для парциальных волн -рассеяния (§ 10). В случае -рассеяния они могут привести к тому, что вычисление таким путем влияния -взаимодействия на -рассеяние может оказаться неверным. Однако именно на этом пути впервые была получена формула для -волн -рассеяния (Боукок и др. (I960)), явно содержащая эффект р-мезона:

где и и q — энергия и импульс мезона, — полная энергия -системы, — постоянная, зависящая от вклада высших состояний в условии унитарности. Параметры и с связаны с характеристиками р-мезона: — положение р-мезонного резонанса, а пропорционально ширине этого резонанса.

Соотношение (24.1) качественно удовлетворяет всем тем требованиям, о которых говорилось в конце § 22. Действительно, разлагая правую часть (24.1) в ряд по , получим

Первый член имеет вид, удовлетворяющий требованию кроссинг-симметрии (пропорциональность ). Знак перед вторым членом отрицательный, что и приводит к компенсации роста функции вызванного множителем . Эффективность компенсации определяется положением р-мезона. Отметим, что константа входит также в параметры электромагнитной структуры нуклона. Возможность одновременного описания -рассеяния и электромагнитной структуры нуклона одним и тем же значением значительно повышает уверенность в справедливости выражения (24.1).