§ 17. Высшие парциальные волны

Проведенное рассмотрение -рассеяния в приближении s- и -волн показывает, что может быть достигнуто разумное качественное соответствие с экспериментом. Важным вопросом поэтому представляется проблема физической замкнутости использованного приближения. В этом параграфе, следуя в основном работе Ефремова и Ширкова (1961), мы рассмотрим вопросы учета высших парциальных волн, которыми до сих пор мы пренебрегали.

17.1. Высшие волны в нейтральной модели.

Выпишем сперва формулы, выражающие парциальные волны через значение амплитуды и ее производных в точках .

Эти формулы имеют различный вид, в зависимости числа парциальных волн, аппроксимирующих .

В низшем приближении, ограничиваясь s- и р-волнами

имеем

В следующем приближении, учитывая также и -волны

получаем

Наконец, предельному случаю

соответствуют формулы:

выражающие парциальные волны через бесконечный набор производных в точках .

Выражения (17.3) могут быть получены чисто формально, путем последовательного взятия по частям интегралов, определяющих парциальные амплитуды, которые удобно при этом представлять в виде сумм

Разлагая в первом из интегралов в ряд Тейлора около точки а во втором — около точки и вычисляя интегралы

приходим к формулам (17.3). При таком способе рассуждений видно, что сходимость рядов в правых частях (17.3) определяется сходимостью рядов Тейлора на интервалах (0; 1) и соответственно.

Для случая нейтральной модели формулы (17.2) сводятся к (11.6), а соответствующие уравнения для s- и -волн имеют вид (11.8). Второе из этих уравнений находится в противоречии с условием порогового поведения для -волны:

для выполнения которого необходимо потребовать выполнения «правила сумм» (11.14).

С помощью (11.14) уравнения (11.8) могут быть преобразованы к виду:

Эти уравнения находятся в соответствии с (17.5). Можно также показать (Орлов, Парфенов (1967)), что если провести сравнение разложений этих уравнений по параметру с разложениями обычной теории возмущений (подобно тому как это было описано в § 11.4), то в порядке мы получим точное соответствие вплоть до членов порядка как в так и в Таким образом, по сравнению с уравнением (11.15) мы получаем для улучшение на два следующих члена разложения по v и соответственно два правильных члена разложения для

Рассмотрим асимптотические свойства уравнений (17.6). Не составляет труда убедиться в том, что совместное с условием унитарности убывание при во втором из уравнений (17.6) обеспечивается «правилом сумм» (11.14). Таким образом, мы имеем две совершенно эквивалентные формулировки задачи для s- и -волн. Первая из них, представляемая системой (11.8), (11.14), является удобной для исследования асимптотического поведения парциальных волн. Вторая формулировка, представляемая совокупностью (17.6), (11.14), более удобна для изучения низкоэнергетического поведения и сравнения с теорией возмущений.

Если сделать следующий шаг и с помощью вторых производных учесть волну то мы получим систему трех уравнений для Эти уравнения в форме, аналогичной (11.8), удовлетворят квантовомеханическим пороговым условиям, а члены порядка будут находиться в соответствии с теорией возмущений; они будут на два порядка по v лучше, чем у уравнений (11.8), т. е., например, в волне d правильно будут передаваться члены вплоть до . Асимптотическое поведение волн будет обеспечиваться «правилами сумм» типа (11.14). При этом по-прежнему будет иметь асимптотику (11.9), а волны — асимптотику типа (11.13).

Разумеется, учет большого числа высших парциальных волн в низкоэнергетических уравнениях не оправдан с физической точки зрения. Эксперимент показывает, что d- и -волны становятся заметными в области энергий лишь существенно выше порога неупругих процессов. В пион-пионном рассеянии, например, -волна в канале имеет резонанс (-мезон) при с полной шириной .

В области энергий ниже все d- и -волны, по-видимому, пренебрежимо малы. Поэтому в задаче рассеяния реальных пионов мы ограничимся лишь исследованием влияния -мезона на низкоэнергетическое поведение s- и -волн и не будем рассматривать уравнений для высших волн.