22.2. Вывод системы уравнений.

Отбрасывая все волны, кроме р, мы значительно упростим задачу. Теперь четыре фазовых сдвига -волны должны подчиняться д. с. для рассеяния вперед. Два из них выше уже сравнивались с опытом (§ 4). Они связаны с процессами без изменения направления спина нуклона. Из формулы (21.20) видно, что для рассеяния вперед сечение зависит только от комбинации и не содержит Если рассматривать д. с. для рассеяния вперед как предел рассеяния на малый угол, то будем иметь четыре д. с. Мы приведем их для амплитуд процессов -рассеяния (Боголюбов и др. ):

где — соответственно мнимая и действительная части амплитуды -рассеяния без изменения направления спина, a имеют тот же смысл для процессов с переворачиванием спина. Теперь, используя формулы (21.20) и (21.22), легко получить в с. ц. м. выражения для этих амплитуд через фазы рассеяния:

Дисперсионные соотношения (22.1) записаны в л. с. к. Переход к с. ц. м. выполняется с помощью соотношений (21.19). Смысл констант вычитания в формулах (22.1) очевиден из формул (22.2) и из того факта, что фазовые сдвиги, как известно, ведут себя при малых q следующим образом:

Отсюда ясно, что выразятся через длины рассеяния -волн .

Теперь легко получить уравнение для -волн. Для этого, во-первых, в д. с. (22.1) учтем только -волны, т. е. в формулах (22.2) члены с положим равными нулю; во-вторых, пренебрежем всеми неупругими процессами; в-третьих, осуществим переход к статическому пределу . В статическом пределе совпадают . Рассматривая полусуммы и полуразности д. с. (22.1), получаем

Здесь через о обозначена полная энергия мезона в с. ц. м. и .

Путем простых алгебраических операций система уравнений (22.4) приводится к стандартному виду:

где и матрица кроссинг-симметрии имеют вид

а индексы , очевидно, . Числа образуют собственный вектор матрицы .

Подчеркнем, что для вывода уравнений (22.5) существенны все три предположения. Если отказаться от второго из них, то выражения (22.5) не будут уравнениями, так как тогда не справедливо двухчастичное условие унитарности

и восемь неизвестных функций [действительные и мнимые части ] будут связаны всего лишь четырьмя соотношениями (22.5).

Уравнения (22.5) были получены на основе д. с. для рассеяния вперед без привлечения конкретного вида взаимодействия -мезонов и нуклонов. Заметим, что в условии для кинематический множитель представляет сложную функцию которая только в статическом пределе принимает простой вид Поэтому условие унитарности в виде

справедливо лишь в области . Таким образом, рассмотрение области требует согласованного изменения условия унитарности и уравнений (22.5). Это изменение уравнений может быть выполнено весьма простым образом в рамках известной статической модели Чу-Лоу (см. также Хенли, Тирринг (1963) и ).