28.2. Дисперсионные соотношения для формфакторов.

Скалярные функции удовлетворяют д. с., которые являются следствием аналитических свойств как функций комплексного переменного t. С д. с. такого рода мы уже встречались при рассмотрении электромагнитного формфактора -мезона (§ 25.3). Для электромагнитных формфакторов нуклона не существует строгого доказательства аналитичности функций по переменной t. Однако можно показать, что в любом порядке теории возмущений функции являются аналитическими в комплексной плоскости t с разрезом где значения определены ниже. Отсюда стандартным методом с помощью теоремы Коши (§ 25.3) получаем

При выводе (28.9) предположено, что Не существует каких-либо строгих результатов относительно поведения при больших t. Но если принять, что справедливы результаты теории возмущений, то для можно использовать д. с. без вычитания:

(28.10)

Далее, используя тот факт, что при t О формфакторы действительны, легко установить действительность спектральных функций Из соотношения (28.9) следует

Поэтому для практического использования (28.9) нужно указать способ вычисления

Рис. 62.

Условие унитарности позволяет найти выражения для Детальные вычисления громоздки из-за наличия у нуклонного формфактора изотопической и спиновой структур. Однако схема рассуждений проста. Из условий унитарности и инвариантности взаимодействия относительно обращения времени следует, что

(28.12)

где суммирование распространяется по полной системе промежуточных состояний сильно взаимодействующих частиц. В данном случае под совокупностью понимается

(28.13)

Графическое изображение условия унитарности (28.12) весьма наглядно (рис. 62). Первое слагаемое содержит уже известный формфактор -мезона и амплитуду процесса

Последний становится наблюдаемым при Вместе с тем вклад от первого члена в (28.12) отличен от нуля уже при . Поэтому условие унитарности (28.12) для значений t в интервале содержит амплитуду процесса в нефизической области . Возможность рассматривать ее в этой области как аналитическое продолжение из физической области может быть обоснована на основе представления Мандельстама. Фактически это было установлено выше и использовалось нами при анализе амплитуды -рассеяния в области значений переменных, соответствующих процессу . Отметим, далее, что двухмезонные и трехмезонные промежуточные состояния дают вклад в различные части нуклонного формфактора. Это связано с тем, что -мезоны являются -нечетными частицами. Электромагнитный ток разбивается на -четную и -нечетную части:

Вследствие (28.14) двухчастичные состояния определяют а трехчастичные —

В главе о -рассеянии мы изучили амплитуду которая дает возможность подробно исследовать изовекторные части нуклонных формфакторов. Условие унитарности (28.12) связывает формфакторы со многими неупругими процессами. Как обычно, мы будем ограничиваться лишь первым, наилегчайшим по массе, членом в условии унитарности. Тогда для формфакторов имеем следующие выражения:

Мнимые части с учетом изотопической и спиновой структур равны (Фрэзер, Фулко ):

где

Здесь — электромагнитный формфактор -мезонов, — парциальные волны процесса . Мы уже обсуждали возможные выражения для , а при анализе экспериментальных данных по -рассеянию использовали формфактор, соответствующий резонансному характеру взаимодействия -мезонов в состоянии .

Для практического использования формул (28.15), (28.16) необходимо найти функции . Это можно сделать, выразив их через инвариантные скалярные функции Ф, введенные при анализе -рассеяния . Если ограничиться низшими парциальными волнами в процессе , то с помощью формул (21.28), (21.29) можно выразить , что приводит к следующим формулам для

Здесь . Смысл формул (28.17) становится ясным, если вспомнить результаты рассмотрения аналитических свойств функций Ф и рис. 50. Рассеяние назад в канале I (-рассеяние) соответствует рассеянию назад в перекрестном канале, которым является канал . Это означает, что при функции (или ) определяют амплитуду -рассеяния в наблюдаемой точке плоскости s, u.

Те же функции определяют амплитуду процесса в наблюдаемой по угловой переменной и ненаблюдаемой по энергии точке плоскости s, u. Такое аналитическое продолжение из физической области -рассеяния в область процесса можно осуществить с помощью д. с. для рассеяния назад (25.13), которые мы перепишем в удобной для дальнейшего форме:

Формулы (28.18) получены в результате решения линейной краевой задачи. Поэтому они справедливы в некоторой области комплексного переменного . Размеры этой области вдоль действительной оси, строго говоря, определяются границами интервала, на котором справедливо двухчастичное условие унитарности. Это приводит к ограничению Однако, как всегда, существует убеждение в том, что многочастичные процессы начинают играть заметную роль в условии унитарности выше своих порогов. Следовательно, выражениям (28.18) можно верить и при

Формулы для функций

обладают одним общим свойством: согласно (28.18) обе функции пропорциональны электромагнитному формфактору -мезона . Поведение в зависимости от v или t при наличии узкого резонанса (р-мезона) детально обсуждалось выше .

Выражения в квадратных скобках (28.18) при отрицательных v представляют собой плавно меняющиеся функции. Следовательно, согласно (28.16) и (28.17) поведение будет в основном определяться Тогда, воспользовавшись полученным ранее выражением для устанавливаем, что

Здесь мы применили уже известную -аппроксимацию (27.3). Такой прием, конечно, является приближенным, но он избавляет от ряда трудностей. Во-первых, формулам (28.18) нельзя верить на всем интервале интегрирования Поэтому в д. с. необходимо обрезать интеграл на каком-то значении Во-вторых, возникает вопрос о зависимости формфакторов от параметра . Оценка (28.19) указывает на то, что зависимость от слаба. Собирая формулы (28.16) — (28.19), легко прийти к выражениям для мнимых частей формфакторов в терминах которых обычно проводится сравнение с экспериментальными данными, а именно:

Таким образом, в случае резонансного взаимодействия двух пионов вклад от двухчастичного состояния в условие унитарности хорошо аппроксимируется функцией . Если использовать это утверждение как эвристическое соображение о возможном виде в том случае, когда несколько мезонов образуют резонанс, то мы придем к резонансной модели формфакторов. Такая модель была предложена впервые Клементелем и Вилли (1958). Электромагнитные формфакторы при этом имеют вид:

Здесь учтены два трехпионных резонанса и с квантовыми числами и двухпионный р-мезон. Клементель и Вилли рассмотрели только изовекторные части формфакторов и нашли, что экспериментальные данные хорошо описываются, если положить

Константы , введенные в (28.21), (28.22), находятся в отношении

Сама величина например, не может быть найдена из , если не привлекать дополнительных сведений относительно ширины р-мезона . Однако формулы (28.18) позволяют выразить через параметры -рассеяния. С их помощью легко получить (Лендель и др. )

Согласно соотношению (27.5) сумма двух первых членов в квадратных скобках выражения для равна нулю. Тогда значение определяется малыми членами, величину которых мы не можем вычислять надежно. Но, как было показано в § 27.1, равенство (27.5) выполняется плохо.

Поэтому, если использовать экспериментальные данные по и фазе то для отношения получаем

К численному согласию не следует относиться всерьез ввиду большого количества использованных приближений. Тем не менее формулы для приводят к разумным величинам. Так, при для имеем Обычно считают, что (Гамильтон ). Разница между этими двумя значениями не велика, если учесть способ определения q: величина определяется из данных по -рассеянию и при значения дают очень близкие результаты (Боукок и др. ).

Таким образом, электромагнитная структура нуклонов (изовекторная часть) может быть рассмотрена в рамках тех же приближений и предположений, что и упругое -рассеяние. Что касается количественного описания, то, по-видимому, резонансная модель слишком груба. С ее помощью из экспериментальных данных по изовекторной части нуклонных формфакторов получается значение Это значение ниже того, которое находят из опытов по рождению р-мезонов в -столкновениях.

Для устранения этого противоречия вводят в рассмотрение гипотетический р-мезон, за счет параметров которого получают (Деврие и др. ). Кроме того, предпринимаются попытки анализа экспериментальных данных на основе -аппроксимаций (28.21) в уравнениях (28.10), что несколько улучшает согласие с опытом и др. Ясно, что для удовлетворительного описания электромагнитных формфакторов требуется дальнейшее развитие резонансной модели.