§ 16. р-резонансное решение в общем случае

Рассмотренная в предыдущем параграфе дельтаобразная аппроксимация позволяет изучать свойства резонансных решений при . Для того чтобы перейти к физически интересному решению, следует рассмотреть случай не малых .

Заметим сразу же, что, как было установлено в адиабатической ветви (§ 14), интервал допустимых значений ограничен сверху величиной (см. формулу ); это связано с отсутствием физического связанного состояния в канале . В нейтральной модели (§ 11) это обстоятельство по той же причине не является привилегией адиабатической ветви решения. Поэтому естественно ожидать, что и в резонансных решениях рассматриваемой заряженной модели существует Ятах (Мы увидим ниже, что такое положение действительно имеет место.) Основываясь на этом обстоятельстве, можно полагать, что в разложении по степеням функций в унитарном представлении (14.6) в допустимом интервале достаточно рассмотреть несколько первых членов.

Сейчас мы изложим метод регулярного построения членов разложения по степеням в знаменателях унитарного представления, уточнив таким образом дельтаобразную аппроксимацию (§ 16.1), а затем сравним (§ 16.3) результаты с данными численного решения исходных уравнений, представленных с помощью так называемого «N/D-метода» (§ 16.2) в виде системы уравнений Фредгольма.

16.1. Теория возмущений для унитарного представления.

Будем исходить из унитарного представления для амплитуд рассеяния (14.6). Учтем следующий порядок по при разложении мероморфных функций и функций, имеющих только левый разрез, . Тогда амплитуды примут вид

Рассмотрим случай, когда в волне нет резонанса. Функции , дающие дельтаобразное приближение (см. § 15.2), удобно представить в виде

Полиномы не имеют нулей в физической области; верхний индекс полинома характеризует изотопический канал рассеяния, нижний — степень полинома.

В каждом порядке по должны выполняться свойства кроссинг-симметрии. В рассматриваемом приближении для функций получаем

При функция имеет полюс второго порядка в точке функция — полюсы второго порядка в точках функция — полюсы второго порядка в точках Этот факт определяет форму мероморфных функций

— полиномы 7-й степени: — действительные коэффициенты, так как . Покажем, что они определяются однозначно. Для этого необходимо потребовать выполнения следующих условий:

а) кроссинг-симметрии во втором порядке по ,

б) сохранения положений резонансов в волнах соответственно в точках .

в) определения (14.5),

г) порогового условия для р-волны,

д) отсутствия нулей при во всех волнах. Условие (д) следует из табл. 2 (стр. 120), когда Условия кроссинг-симметрии дают

Как нетрудно убедиться, с учетом свойства уравнения (16.5) приводят к 12 соотношениям между условия (б) дают 2 уравнения:

Условие (в) дает одно уравнение:

Условие (г) дает (см. (16.2), )

Наконец, (д) дает для волн по 2 условия компенсации полюсов второго порядка в функциях в точках Для волны это условие дает 4 уравнения, так как сумма не должна иметь полюсов как в точке так и в точке

Всего мы получаем 24 алгебраических уравнения для 24 неизвестных . В общем случае, когда и волна имеет резонанс (и нуль, если см. табл. 2), эти условия однозначно определяют коэффициенты мероморфных функций, если, кроме того, потребовать, чтобы резонанс и нуль в волне не сдвигались при учете высших порядков разложения по .

Мы видим, таким образом, что изучение свойств членов разложения в теории возмущений для унитарного представления позволяет сделать следующее заключение. Решения исходной системы интегральных уравнений являются однозначными функциями и , если при зафиксированы положения резонансов и нулей функций .

При функции малы, если резонансы лежат достаточно далеко от порога .

Поэтому в области

Здесь мы воспользовались формулами (15.11) — (15.13) для оценки в окрестности и при

Мы видим, что это выражение совпадает с выражением для -волны в адиабатическом приближении (14.8), (14.10). Отсюда следует оценка для :

где — длина рассеяния в дельтаобразном приближении, заимствованная из табл. 3. Поскольку А, может меняться в пределах то следует ожидать, что учет второго порядка по А, будет достаточно хорошо вписывать решение. Сравнив эти формулы с данными численного решения, мы убедимся в том, что это действительно так.

Для этого сведем систему сингулярных уравнений к системе интегральных уравнений типа Фредгольма, которую можно решать численно на электронной машине. Это делается при помощи «-метода», предложенного впервые и Мандельстамом (1960).