3.3. Роль условия унитарности.

Матрицу рассеяния, записанную в дискретном представлении, представим в виде

Здесь а и — дискретные индексы, описывающие конечные и начальные состояния. Подставляя это выражение в условие унитарности

получаем

где — матричный элемент перехода из состояния в состояние , а суммирование в правой части проводится по полной системе физических состояний включающей, в частности, состояние с произвольно большим числом частиц.

Для того чтобы применить (3.9) к интересующему нас случаю упругого рассеяния, необходимо считать состояния двухчастичными, в нашем случае — двухмезонными. Тогда в левой части (3.9) мы получим мнимую часть амплитуды упругого рассеяния . В правой части, однако/кроме произведения амплитуд вида войдут еще члены, соответствующие промежуточным состояниям с числом частиц, большим двух.

Для получения замкнутой формулы в области низких энергий этими многочастичными вкладами обычно пренебрегают. В результате указанной двухчастичной аппроксимации условие унитарности (3.9) приводится к виду

где углы связаны между собой сферической формулой сложения.

Формула унитарности (3.10) дает искомое второе соотношение между Она, однако, связывает между собой различные углы и делает невозможным изолированное изучение амплитуды рассеяния вперед Поэтому необходимо также иметь д. с. для рассеяния на произвольный физический угол Здесь мы наталкиваемся на трудности, которые, по всей видимости, имеют чисто технический характер. Дело в том, что существующие методы доказательства д. с. позволяют обобщать результаты, полученные для рассеяния вперед только вполне определенным образом. Именно, аналогично тому, как это имеет место в квантовой механике, удается доказать аналитические свойства амплитуды в комплексной плоскости энергии, лишь фиксируя передачу импульса .

Здесь 3-импульс налетающей частицы, а — 3-импульс рассеянной частицы (в с. ц. м.). Не удается, например, изучить аналитические свойства по Е для амплитуды, рассматриваемой при фиксированном угле рассеяния Более того, доказательство при фиксированном оказывается возможным лишь для некоторого интервала значений (Боголюбов и др. (1958)), причем предельное значение зависит не только от вида изучаемого процесса, но и от деталей метода доказательства, т. е. от искусства исследователя. В то же время наличие границы приводит к тому, что область, в которой доказана аналитичность амплитуды по энергии, не покрывает целиком физической области. Кроме того, получаемые этим путем д. с. при содержат подпороговую нефизическую область, что приводит к новым затруднениям.

Поэтому простая по своей идее программа совместного использования д. с. и условий унитарности для получения системы уравнений подобно тому, как это оказалось возможным в квантовой механике, наталкивается на серьезные препятствия. Являются ли эти препятствия чисто техническими или содержат в себе какой-либо принципиальный момент, не совсем ясно. Первая точка зрения кажется весьма правдоподобной. Она находится в соответствии с построениями, основанными на ряде вполне естественных гипотез, которые мы изложим в § 5.