§ 7. Двухчастичная унитарность и кроссинг-симметрия
Здесь мы подробно рассмотрим условие двухчастичной унитарности для амплитуды рассеяния. Основные выкладки выполним детально для наиболее простого модельного случая рассеяния нейтральных бозонов; мы приведем также конечные формулы для реального изотопического случая рассеяния заряженных пионов.
Соответствующие формулы для 
-рассеяния будут даны в гл. 5.
7.1. Двухчастичная унитарность амплитуды рассеяния.
Рассмотрим матричный элемент рассеяния двух нейтральных псевдоскалярных бесспиновых бозоновг
Здесь 
-матрица рассеяния, 
и а—операторы рождения и уничтожения мезонов, подчиненные перестановочным соотношениям
— амплитуда вакуума,
Матричный элемент (7.1) удобно представить в виде 
где
— амплитуда рассеяния, являющаяся релятивистски инвариантной величиной. Она есть скалярная функция скалярных инвариантных аргументов
Условие унитарности матрицы рассеяния имеет вид
Возьмем от (7.5) матричный элемент
Произведение двух операторов вида АВ может быть разложено по полной системе реальных состояний 
Здесь символ 2 обозначает суммирование по дискретным и интегрирование по непрерывным переменным, характеризующим состояние 
Подставляя это разложение в (7.6), заметим, что в области энергий ниже порога рождения дополнительной пары мезонов s 
(один дополнительный мезон не может родиться из-за псевдоскалярности) в сумме
отличными от нуля являются лишь члены, соответствующие двухмезонным промежуточным состояниям:
Поэтому (7.6) принимает вид
Подставляя в (7.7) формулу (7.2) и ей сопряженную, получим после очевидных упрощений
Теперь удобно ввести инвариантные переменные (7.4), а также перейти к 
в которой
где v — безразмерный квадрат импульса, 
— косинус угла рассеяния, 
Тогда имеем
где
(здесь и ниже масса мезона положена равной единице: 
.
Сейчас удобно изменить нормировку положив
так чтобы
Из (7.11) видно, что коэффициенты разложения А в ряд Лежандра
удовлетворяют условиям унитарности вида
так что они выражаются через действительные фазы рассеяния 
т. е. представляют собой парциальные волны релятивистского рассеяния в простой нормировке. Эта нормировка является наиболее употребительной.
