ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Опишем геометрический способ получения аналитических свойств функций . Для этого удобно рассматривать как функции t, z. При любом фиксированном значении переход от переменных v, z к t, z тривиален. Рассеяние вперед рассматривается как предел при . Изучим на плоскости s, и кривые . Ими будут гиперболы (рис. )

с асимптотами

Вид гипербол не зависит от того, выражаются ли s и и через v, z формулами (21.13) или (25.2). Координаты вершин гиперболы

и

При изменении z в интервале вершины гиперболы пробегают конечные отрезки. Вершины делят гиперболу на части, вдоль которых имеет определенный знак. Так, на линиях для на линии при . Это означает, что на линиях s и и связаны с v, z формулами (21.13). На остальных частях гиперболы справедливы формулы (25.2). Подчеркнем еще раз, что границы применимости (21.13) и (25.2) определяются вершинами гиперболы.

Особенности определяются значениями t, z, при которых разности обращаются в нуль. Интервал изменения задается представлением Мандельстама (23.1).

Очевидно, нахождение области обращения в нуль разности не вызывает затруднений, и разрез от нее всегда начинается с в интервале из ветвей гиперболы проходит через точку а с координатами Координата t точки, лежащей на , определяется ее прямоугольной проекцией на ось t.

Рис. П.3

Таким образом, рассматривая прямоугольные проекции точек физической области процесса I, расположенных на гиперболе легко установить, что от всегда будет разрез вдоль , т. е. . Аналогично на линии разность обращается в нуль.

Начало разреза связано с проекцией на ось t точки е, координаты которой

Координата проекции точки е на ось t вычисляется легко; она определяет величину с которой и начинается разрез от . Для значения точка е является вершиной гиперболы. При вершина гиперболы лежит левее точки . В зтом случае разность обращается в нуль, начиная со значений . Если теперь пересчитать положение этой точки на переменную v, то ось будет соответствовать началу разреза с . Теперь легко установить, что разрезы от разностей , в которых выражаются через v, z с помощью (21.13) после замены определяются частями гиперболы с асимптотикой Пересчитывая эти разрезы с оси t на ось v, при фиксированном z получим разрез от второго канала и, при конечный разрез от него же с границами .