3.2. Левый разрез и кроссинг-симметрия.

Д. с. для рассеяния вперед имеют довольно простой вид, во многом напоминающий д. с. в квантовой механике (2.15). Наиболее существенное отличие между ними состоит в том, что в комплексной плоскости функция имеет второй разрез, лежащий на отрицательной части действительной оси. Так, например, д. с. для амплитуды рассеяния скалярных частиц с массой на фиксированном источнике содержат интеграл по этому разрезу и имеют примерно следующий вид:

Второй интеграл по левому разрезу не имеет не релятивистского аналога. Область интегрирования является, очевидно, нефизической.

Однако значения амплитуды в этой области можно связать со значениями амплитуды в физической области путем весьма простых рассуждений. В рассматриваемом модельном случае волновая функция в координатном представлении должна быть действительной величиной, что соответствует отсутствию у частиц электрического заряда. Ввиду этого ее фурье-образ

обладает свойством

С помощью (3.2) соотношение (3.1) приводится к виду

Таким образом, мы исключили нефизические отрицательные энергии с помощью соображений симметрии. В более общем случае, например, рассеяния реальных заряженных -мезонов (пионов) друг на друге или рассеяния пионов на нуклонах исключение левого разреза по отрицательным Е производится аналогичным образом. Соответствующие (3.2) соотношения симметрии при этом имеют более сложный матричный вид и называются условиями кроссинг-симметрии. Более подробно свойства кроссинг-симметрии излагаются в §§ 5, 7, 8, 21, 22, 23. Реальные д. с. отличаются поэтому от (3.1) наличием матричной структуры.

Они представляют собой систему соотношений для нескольких функций , причем физический интеграл при диагонален по индексу , а нефизический интеграл, как правило, недиагонален.

Второе важное отличие связано с тем, что интегралы вида (3.1), (3.4) обычно расходятся. В силу оптической теоремы (2.17) мнимая часть амплитуды рассеяния вперед может быть выражена через полное сечение. Допустим, что эта связь имеет вид (в реальном случае она может иметь более сложную форму, )

и что

Тогда правая часть (3.4) расходится . Как было сказано в § 2.1, это означает, что теорему Коши следует записать не для а для , деленной на полином . Выбирая полином Р в виде получаем после взятия вычета в точке для функции

или

Уравнение (3.5) можно также получить из (3.4), проведя в нем вычитание в точке . Таким образом, применение еоремы Коши для функции приводит к тем же результатам, что и вычитание.

Проведенная операция, в результате которой интеграл становится сходящимся, вводит новую константу Ввиду этого следует выбрать точку вычитания так, чтобы величина имела простой физический смысл. Полагая и используя тот факт, что на пороге амплитуда обычно сводится к длине рассеяния s-волны

получаем

Наконец, д. с. могут содержать еще полюсные члены, отвечающие возможности виртуального перехода двух рассеивающихся частиц в одночастичное состояние. Такая возможность реализуется, например, в -рассеянии. Д. с. для этого случая рассмотрены в § 4, где проведено также их сравнение с экспериментом.

Здесь важно отметить еще одно обстоятельство. Как мы видели ранее (см. § 2.1), физическим значениям амплитуды рассеяния соответствует верхняя грань физического разреза, т. е.

Входящие в (3.1), (3.5) физические амплитуды при следует понимать именно в этом смысле. Возникает вопрос об аналогичном определении амплитуды на левом кроссинг-разрезе . Не представляет труда убедиться в том, что для комплексных соотношение (3.2) может быть детализовано так:

Формула (3.6) отражает тот факт, что является действительной функцией комплексного аргумента. Она связывает, в частности, значения амплитуды на верхнем и нижнем берегах каждого из разрезов. Формула (3.7) дает собственно свойства симметрии. В рассматриваемом случае (3.7) устанавливает, в частности, связь между значениями на верхнем берегу физического разреза и нижнем берегу кроссинг-разреза, т. е. , а также вторую связь . Это положение иллюстрирует рис. 6.

Связь (3.6) является универсальной для различных д. с., в то время как соотношения кроссинг-симметрии (3.7) в общем случае имеют матричную структуру. Например, для случая рассеяния -мезонов на протонах вместо (3.7) получаем

вследствие чего д. с. для амплитуд оказываются связанными между собой через кроссинг-разрез. Выражая с помощью оптической теоремы через

Рис. 6.

эффективные сечения, приходим к формулам, содержащим только физически наблюдаемые величины. Такие формулы можно сравнивать с экспериментальными данными (см. § 4).

Чтобы получить не соотношения между наблюдаемыми величинами, а уравнения для них, к д. с. вида (3.3) следует добавить, по крайней мере, еще одну связь между . Такую связь можно получить из условия унитарности для матрицы рассеяния S, имеющего вид